Question

11．計(jì)算：$\frac{1}{x（x+1）}$+$\frac{1}{（x+1）（x+2）}$+$\frac{1}{（x+2）（x+3）}$+…+$\frac{1}{（x+2015）（x+2016）}$，并求當(dāng)x=1時(shí)，該代數(shù)式的值．

Answer 1

分析 先利用$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$把各分式展開(kāi)，然后合并即可得到原式=$\frac{2016}{x（x+2016）}$，然后把x=1代入計(jì)算即可．

解答 解：原式=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+2}$-$\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+2015}$-$\frac{1}{x+2016}$
=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+2016}$
=$\frac{x+2016-x}{x（x+2016）}$
=$\frac{2016}{x（x+2016）}$，
當(dāng)x=1時(shí)，原式=$\frac{2016}{1×（1+2016）}$=$\frac{2016}{2017}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值：先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．