Question

如圖①，AB為⊙O的直徑，AB=2

5

，AD與⊙O相切于點A，過點B作BC∥AD，DO平分∠ADC．
（1）判斷DC與⊙O相切嗎？并說明理由；
（2）設(shè)AD=x，BC=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若⊙O與直線DC相切，連接點A與切點E并延長交BC延長線于點G，當AD=2時，求線段EG的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）可作OE⊥DC，要證DC與⊙O相切，只要證出AO=OE即可，運用角的平分線的性質(zhì)可證出AO=OE．
（2）由切線性質(zhì)可得出DC的關(guān)系式，再由DF⊥BC，可得四邊形ABFD是矩形，從而得出DF、FC，在Rt△DFC中，可運用勾股定理求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）由⊙O與直線DC相切，利用（2）中的函數(shù)關(guān)系式求出CG，再在Rt△ABG中，運用勾股定理求出AG，再運用△ADE∽△GCE列出比例式，即可求出EG的長．

解答：
解：（1）如圖1，作OE⊥DC．
∵AD與⊙O相切
∴AD⊥AB
∴∠A=90°
∵DO平分∠ADC
且AD⊥AB，OE⊥DC
∴OE=AO=r
∴DC與⊙O相切
（2）如圖1，作DF⊥BC

∵BC∥AD
∴∠B=90°
∴BC與⊙O相切
∵AD與⊙O相切，DC與⊙O相切
∴AD=DE
同理得：BC=CE
∴DC=DE+EC=AD+BC=x+y
∵DF⊥BC
∴∠DFB=90°
∵∠A=90°，∠B=90°，∠DFB=90°
∴四邊形ABFD是矩形
∴DF=AB=2

5

，F(xiàn)C=BC-AD=y-x
在Rt△DFC中，DC²=DF²+FC
∴（x+y）²=（y-x）²+（2

5

）
∴y=

5

x

，
（3）如圖2，

∵AD=DE
∴∠DAE=∠DEA
∵BG∥AD
∴∠DAE=∠G
∵∠CEG=∠DEA
∴∠CEG=∠G
∴EC=CG
∵AD=2
∴由（2）得BC=EC=CG=2.5
在Rt△ABG中，AG²=AB²+BG²，
∴AG=3

5

，
∵BG∥AD
∴△ADE∽△GCE
∴

AD

CG

=

AE

EG

，即

2

2.5

=

3 5 -EG

EG

∴EG=

5 5

3

．

點評：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是運用切線的性質(zhì)及勾股定理求線段．