Question

13．已知在△ABC和△AEF中，AB=AC，AF=AE，∠BAC=∠EAF=78°，F(xiàn)C、BE相交于點(diǎn)M，連接AM．
（1）求證：BE=CF；
（2）求證AM平分∠BMF，并計(jì)算∠AME的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出∠EAB=∠FAC，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；
（2）過(guò)A作AQ⊥BE于Q，AH⊥CF于H，根據(jù)全等三角形性質(zhì)和三角形面積求出AQ=AH，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠CMB=∠BAC=78°，∠BMA=∠AMF，即可求出答案．

解答 （1）①解：∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，
∴∠EAB=∠FAC，
在△BAE和△CAF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠EAB=∠FAC}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△BAE≌△CAF（SAS）．
BE=CF；


（2）證明：如圖1：

過(guò)A作AQ⊥BE于Q，AH⊥CF于H，
∵△BAE≌△CAF，
∴△BAE的面積=△CAF的面積，CF=BE，
∴$\frac{1}{2}$CF×AH=$\frac{1}{2}$BE×AQ，
∴AH=AQ，
∵AQ⊥BE，AH⊥CF，
∴AM平分∠BMF．
∵∠ABC+∠ACB=∠MBC+∠MCB=102°，
∴∠CMB=∠BAC=78°，AM平分∠BMF，
∴∠EMF=∠CMB=78°，∠BAM=180°-∠CMB=102°，
∠AMF=∠BMA=$\frac{1}{2}$∠BMF=$\frac{1}{2}$（180°-∠CMB）=$\frac{1}{2}$（180°-78）=90°-39°=51°，
∴∠AME=∠AMF+∠EMF=51°+78°=129°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，有一定的難度．