Question

如圖，已知正方形ADBF，點(diǎn)E在AD上，且∠AEB=105°，EC∥DF交BD的延長(zhǎng)線于C，N為BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BN交AC于M，且CE=2MN，連接AN、CN，下列結(jié)論：①AC⊥BN；②△NCE為等邊三角形；③BF=2AM；④BE+

2

DE=DF．其中正確的有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)∠AEB=105°，得出∠BED=75°由EC∥DF能夠證得∠CED=∠ECD=45°進(jìn)而得到CD=DE，從而證得△ACD≌△BED，得出∠ACD=∠BED=75°，進(jìn)而得出∠ACE=30°，∠CEN=60°得出AC⊥BN，故①正確；根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)得出CE=2ME，根據(jù)已知CE=2MN，得出MN=ME，CN=CE，得出△NCE為等邊三角形，故②正確；由∠AME=∠BDE=90°，∠AEM=∠BED，得出△AME∽△BDE，得出

BD

AM

=

DE

ME

，根據(jù)CE=2ME，CE=

2

DE，BD=BF，得出

BF

AM

=

2

，BF=

2

AM，故③錯(cuò)誤；連接AB，證得∠ANB=∠NAB=75°，得出NB=AB，即可證得BE+

2

DE=DF，故④正確；

解答：解：∵∠AEB=105°，
∴∠NED=105°，
∴∠BED=75°
∵EC∥DF，
∴∠ECD=∠ADF=45°，
∴∠NEC=60°
∵∠ADC=90°，
∴∠CED=∠ECD=45°
∴CD=DE，
在△ACD和△BED中，

CD=DE ∠ADC=∠BDE=90° AD=BD

∴△ACD≌△BED（SAS），
∴∠ACD=∠BED=75°，
∴∠ACE=30°，
∴∠CMB=90°
∴AC⊥BN，故①正確；
∴CE=2ME，
∵CE=2MN，
∴MN=ME，
∴CN=CE，
∴△NCE為等邊三角形，故②正確；
∵∠AME=∠BDE=90°，∠AEM=∠BED，
∴△AME∽△BDE，
∴

BD

AM

=

DE

ME

，
∵CE=2ME，CE=

2

DE，BD=BF，
∴

BF

AM

=

2

，
∴BF=

2

AM，故③錯(cuò)誤；
連接AB，
∵∠BED=∠AEM=75°，
∴∠EAM=∠EBD=15°，
∵AC垂直平分NE，
∴AN=AE，
∴∠NAM=∠EAM=15°，
∴∠NAE=30°∠ANB=75°，
∴∠NAB=75°，
∴NB=AB，
∵NB=NE+BE，AB=DE，NE=CE，
∴BE+CE=DE，
∵CE=

2

DE，
∴BE+

2

DE=DF，故④正確；
故答案為3個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系，銳角三角函數(shù)的意義等知識(shí)，注意解答的方法與技巧．