Question

AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使BD=DC，連AC，過D作DE⊥AC于E，AC交⊙O于F．求證：
（1）AB=AC；
（2）DF=DB；
（3）DE為切線．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結AD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由AB是⊙O的直徑得到∠ADB=90°，加上BD=CD，則可判斷AD垂直平分BC，于是根據(jù)線段的垂直平分線的性質即可得到AB=AC；
（2）由AB=AC，AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質得AD平分∠BAC，即∠BAD=CAD，則根據(jù)圓周角定理得

BD

=

DF

，然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關系得到BD=DF；
（3）連結OD，如圖，先證明OD為△ABC的中位線，則OD∥AC，加上DE⊥AC，所以DE⊥OD，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到DE為切線．

解答：證明：（1）連結AD，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD=CAD，
∴

BD

=

DF

，
∴BD=DF；
（3）連結OD，如圖，
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE為切線．

點評：本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．