【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)GBC邊上任意一點(diǎn),DE⊥AG于點(diǎn)EBF∥DE且交AG于點(diǎn)F

1)求證:AE=BF;

2)如圖1,連接DF、CE,探究線段DFCE的關(guān)系并證明;

3)如圖2,若AB=,GCB中點(diǎn),連接CF,直接寫(xiě)出四邊形CDEF的面積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2DF=CEDF⊥CE.理由見(jiàn)解析.(3)3.

【解析】

試題(1)根據(jù)垂直的定義和平行線的性質(zhì)求出∠AED=∠BFA=90°,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD,∠BAD=∠ADC=90°,再利用同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE,然后利用角角邊證明△AFB△DEA全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=BF;

2)根據(jù)同角的余角相等求出∠FAD=∠EDC,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=DE,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD,然后利用邊角邊證明△FAD△EDC全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=CE,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADF=∠DCE,再求出∠DCF+∠CDF=90°,然后根據(jù)垂直的定義證明即可;

3)根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出BG,再利用勾股定理列式求出AG,然后利用△ABG的面積列出方程求出BF,再利用勾股定理列式求出AF,從而得到AE=EF,再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得DF=AD,然后根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半列式計(jì)算即可得解.

試題解析:(1)證明:∵DE⊥AG于點(diǎn)E,BF∥DE且交AG于點(diǎn)F,

∴BF⊥AG于點(diǎn)F

∴∠AED=∠BFA=90°,

四邊形ABCD是正方形,

∴AB=AD∠BAD=∠ADC=90°,

∴∠BAF+∠EAD=90°

∵∠EAD+∠ADE=90°,

∴∠BAF=∠ADE

△AFB△DEA中,

∴△AFB≌△DEAAAS),

∴BF=AE;

2DF=CEDF⊥CE

理由如下:∵∠FAD+∠ADE=90°∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°,

∴∠FAD=∠EDC,

∵△AFB≌△DEA

∴AF=DE,

四邊形ABCD是正方形,

∴AD=CD,

△FAD△EDC中,

∴△FAD≌△EDCSAS),

∴DF=CE∠ADF=∠DCE

∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°,

∴∠DCF+∠CDF=90°,

∴△FAD≌△EDCSAS),

∴DF=CE∠ADF=∠DCE

∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°,

∴∠DCF+∠CDF=90°,

∴DF⊥CE

3∵AB=,GCB中點(diǎn),

∴BG=BC=,

由勾股定理得,AG=

∵SABG=AG×BF=AB×BG

××BF=××

解得:BF=

由勾股定理得,AF=

∵△AFB≌△DEA,

∴AE=BF=

∴AE=EF=

∴DE垂直平分AF,

∴DF=AD=6,

由(2)知,DF=CEDF⊥CE,

四邊形CDEF的面積=DFCE=

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