Question

我們來探究“雪花曲線”的有關(guān)問題：下圖是邊長為1的正三角形，將此正三角形的每條邊三等分，而以居中的那一條線段為底邊再作正三角形，然后以其兩腰代替底邊，得到第二個(gè)圖形如下圖；再將下圖的每條邊三等分，并重復(fù)上述的作法，得到第三個(gè)圖形如下圖．
（1）求第5個(gè)圖形周長．
（2）求第n個(gè)圖形與周長C的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：第二個(gè)圖形在第一個(gè)圖形的周長的基礎(chǔ)上多了它的周長的．第三個(gè)在第二個(gè)的基礎(chǔ)上，多了其周長的．依此類推，第二個(gè)周長：3×，
第三個(gè)周長：3××，
第四個(gè)周長：3×××．
第五個(gè)周長：3××××．
則得到的第5個(gè)圖形的周長是3×（）⁴=．

（2）n次分形，邊長變?yōu)樵瓉淼?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/418913.png' />，
∴周長C=3×，
即第n個(gè)圖形與周長C的函數(shù)關(guān)系式為：C=3×（）^n-1．
分析：（1）注意首先根據(jù)前面幾個(gè)圖形找到相鄰周長之間的關(guān)系．再進(jìn)一步得到第5個(gè)圖形周長和第一個(gè)圖形的周長之間的關(guān)系．
（2）根據(jù)（1）中分析直接得出規(guī)律，依此得出第n個(gè)圖形與周長C的函數(shù)關(guān)系式．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平面圖形，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間想象能力．讀懂題目信息并靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．