Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點F是AC邊上的中點，DC⊥BC，與BF的延長線交于點D，AE平分∠BAC交BF于點E．

（1）求證：AE∥DC；

（2）若BD=8，求AD的長；

（3）若∠BAC=30°，AC=12，點P是射線CD上一點，求CP+AP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4；（3）6

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得AN⊥BC，再利用平行線的性質(zhì)即可證明AE∥CD；

（2）連接CE，由等腰三角形的“三線合一”得出BN=CN，結(jié)合AN∥CD和CD⊥BC得到CE=BD，再由AE∥CD和F為AC的中點證明△AEF≌△CDF，進而得到四邊形AECD是平行四邊形，所以AD=CE即可解答；

（3）在∠ACD外作∠DCG=30°，過CD上一點P1作P1M1⊥CG于M1，連接AP1，過點A作AM⊥CG交CD于點P．則P1M1=CP1，PM=CP，利用垂線段最短得知AM的長度為所求的最小值，進而在Rt△ACM中求得AM即可．

證明：（1）延長AE交BC于點N．

∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC．

又∵CD⊥BC，

∴AE∥CD

（2）連接CE．

∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴BN=CN．

又∵AN∥CD，

∴BE=ED．

∵∠BCD=90°，

∴CE=BD

∵F是AC中點，

∴AF=CF．

∴AE∥CD．

∴∠EAC=∠DCA，∠AED=∠CDE．

∴△AEF≌△CDF(AAS)．

∴EF=DF．

又AF=CF，

∴四邊形AECD是平行四邊形．

∴AD=CE=BD，

∵BD=8，

∴AD=4

（3）在∠ACD外作∠DCG=30°．

過CD上一點P1作P1M1⊥CG于M1，連接AP1，過點A作AM⊥CG交CD于點P．

在Rt△CP1M1和Rt△CPM中，∠DCG=30°，則P1M1=CP1，PM=CP．

∴CP1+AP1=P1M1+AP1，CP+AP=PM+AP=AM．

由“垂線段最短”可得P1M1+AP1≥AM，當A、P、M三點共線且AM⊥CM時，CP+AP最�。�

∵∠BAC=30°，AE平分∠BAC，

∴∠EAC=15°．

∵AE∥CD，

∴∠DCA=∠EAC=15°．

∴∠ACM=∠ACD+∠DCM=45°．

在等腰Rt△ACM中，AC=12，

由勾股定理得2AM2=AC2=122

∴AM=6．

∴CP+AP的最小值是6．