Question

已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于點G．
（1）求證：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求證：DE=CE．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）證明B、C、E、D四點共圓，得到∠ADE=∠ACB，即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線，證明EM=EF；由sinα=

ME

DE

，sinα=

EF

EC

，得到

ME

DE

=

EF

EC

，根據(jù)ME=EF，即可解決問題．

解答：（1）證明：∵∠ABE=∠ACD，
∴B、C、E、D四點共圓，
∴∠ADE=∠ACB，而∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC．
（2）解：過點E作EM⊥AB，EF⊥BC；
∵BE平分∠ABC，
∴EM=EF；設(shè)∠ADE=∠ACB=α，
則sinα=

ME

DE

，sinα=

EF

EC

，
∴

ME

DE

=

EF

EC

，而ME=EF，
∴DE=CE．

點評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握相似三角形的判定及其性質(zhì)、四點共圓的判定等幾何知識點．