Question

18．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2x-m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，且x₁•x₂=2m²-1，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有兩實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x₁•x₂=-m=2m²-1，據(jù)此即可求得m的值．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-2x-m=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴b²-4ac=4+4m≥0，
解得m≥-1；

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x₁•x₂=-m，
∵x₁•x₂=2m²-1，
∴-m=2m²-1，
整理得：2m²+m-1=0，
解得：m=$\frac{1}{2}$或m=-1．
∵$\frac{1}{2}$，-1都在（1）所求m的取值范圍內(nèi)，
∴所求m的值為$\frac{1}{2}$或-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．