Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連結(jié)PC，過點P作PE⊥PC交AB于E．
（1）證明△PAE∽△CDP；
（2）當點P在AD上運動時，對應(yīng)的點E也隨之在AB上運動，設(shè)AP=x，BE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及y的取值范圍；
（3）在線段AD上是否存在不同于P的點Q，使得QC⊥QE？若存在，求線段AP與AQ之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得∠A與∠D的關(guān)系，根據(jù)等角的余角相等，可得∠AEP=∠DPC，根據(jù)相似三角形的判定，可得答案；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得比例，根據(jù)比例的性質(zhì)，可得函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值，根據(jù)點E在E在AB上運動，可得最大值；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得AP•DP=AE•DC，根據(jù)相似三角形的判定，可得△QAE∽△CDQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得AQ•DQ=AE•DC，根據(jù)等量代換，可得AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△PAE∽△CDP；
（2）∵AP=x，BE=y，
∴DP=3-x，AE=2-y．
∵△PAE∽△CDP，
∴

AE

DP

=

AP

CD

，
即

2-y

3-x

=

x

2

，
∴y=

1

2

x2-

3

2

x+2．
∵y=

1

2

x2-

3

2

x+2=

1

2

(x-

3

2

)2+

7

8

，
∴當x=

3

2

時，y有最小值，y的最小值為

7

8

，
又∵點E在AB上運動（顯然點E與點A不重合），且AB=2，
∴y＜2．
綜上所述，y的取值范圍是

7

8

≤y＜2；
（3）存在，理由如下：
如圖，假設(shè)存在這樣的點Q，使得QC⊥QE，
由（1）得：△PAE∽△CDP，
∴

AE

DP

=

AP

CD

，
∴AP•DP=AE•DC，
∵QC⊥QE，∠D=90°，
∴∠AQE+∠DQC=90°，∠DQC+∠DCQ=90°，
∴∠AQE=∠DCQ．
又∵∠A=∠D=90°，
∴△QAE∽△CDQ，
∴

AQ

DC

=

AE

DQ

，
∴AQ•DQ=AE•DC，
∴AQ•DQ=AP•DP，
即AQ•（3-AQ）=AP•（3-AP），
∴3AQ-AQ²=3AP-AP²，
∴AP²-AQ²=3AP-3AQ，
∴（AP+AQ）（AP-AQ）=3（AP-AQ）．
∵AP≠AQ，
∴AP+AQ=3．
又∵AP≠AQ，
∴AP≠

3

2

，
即P不能是AD的中點，
∴當P是AD的中點時，滿足條件的Q點不存在，故當P不是AD的中點時，總存在這樣的點Q滿足條件，此時AP+AQ=3．

點評：本題考查了相似形綜合題，利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，等量代換是解（3）的關(guān)鍵，題目稍有難度，需分類討論．