Question

如圖，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°，M是線段AB中點(diǎn)，連接DM、CM、CD．
（1）如圖一，若C在線段OB上，且C是OB中點(diǎn)，試判斷△CDM形狀；（不必寫出理由）
（2）如圖二，若C在線段OB上，試判斷△CDM形狀，并說明理由；
（3）如圖三，若C在直線OB上，試判斷△CDM形狀（不必寫出理由）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）如圖一，由△OBD為等腰直角三角形，C為OB的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CD⊥OB，CD平分∠BDO，即∠CDB=45°，于是得到△ABC為等腰直角三角形，而M為AB的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CM⊥AB，CM=AM=BM，于是可判斷△CDM為等腰直角三角形；
（2）如圖二，由△OBD和△OCA是等腰直角三角形得到∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，由M為AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到DM=AM=BM，CM=AM=BM，則CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，理由三角形外角性質(zhì)得∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，則∠AMD+∠AMC=2（∠MBD+∠MBC）=2∠OBD=90°，于是可得到△CDM為等腰直角三角形．
（3）如圖三，與（2）的證明方法一樣可△CDM為等腰直角三角形．

解答：解：（1）如圖一，
∵△OBD為等腰直角三角形，C為OB的中點(diǎn)，
∴CD⊥OB，CD平分∠BDO，
∴∠CDB=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴M為AB的中點(diǎn)，
∴CM⊥AB，CM=AM=BM，
∴△CDM為等腰直角三角形；
（2）△CDM為等腰直角三角形．理由如下：如圖二，
∵△OBD和△OCA是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ADB=90°，∠OBD=45°，
而M為AB的中點(diǎn)，
∴DM=AM=BM，CM=AM=BM，
∴CM=DM，∠MBD=∠MDB，∠MCB=∠MBC，
∴∠AMD=2∠MBD，∠AMC=2∠MBC，
∴∠AMD+∠AMC=2（∠MBD+∠MBC）=2∠OBD=90°，
即∠CMD=90°，
∴△CDM為等腰直角三角形；
（3）如圖三，△CDM為等腰直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．