Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+1與y=-

3

4

x+3交于點(diǎn)A，分別交x軸于點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線AC上的一個動點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）如△BDC的面積為△ABC面積的兩倍，求此時D的坐標(biāo)；
（3）試寫出當(dāng)BD=CD時，BD的解析式，并求出此時△ABD與△BCD的面積的比值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩條直線相交或平行問題

專題：

分析：（1）根據(jù)兩直線解析式，令y=0，求解即可得到B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，兩解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)三角形是同底的三角形，如△BDC的面積為△ABC面積的兩倍，則△BDC的高為△ABC高的兩倍，求D的縱坐標(biāo)，代入直線y=-

3

4

x+3即可求得橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得D的坐標(biāo)．
（3）設(shè)D（m，-

3

4

m+3），根據(jù)BD=CD列出關(guān)于m的方程，解方程求得m的值，進(jìn)而求得D的坐標(biāo)，然后根據(jù)

S△ABD

S△BCD

=

S△ABC-S△BDC

S△BCD

即可求得△ABD與△BCD的面積的比值．

解答：解：（1）

y=x+1 y=- 3 4 x+3

，
解得

x= 8 7 y= 15 7

．
所以A（

8

7

，

15

7

），
令y=0，則x+1=0，解得x=-1，
則-

3

4

x+3=0，解得x=4，
所以B（-1，0），C（4，0）．

（2）∵△BDC的面積為△ABC面積的兩倍，
∴△BDC的高為△ABC高的兩倍，
即D的縱坐標(biāo)=±2×

15

7

=±

30

7

，
代入y=-

3

4

x+3得，±

30

7

=-

3

4

x+3，
解得x=-

12

7

或x=

68

7

，
∴D（-

12

7

，

30

7

），或（

68

7

，-

30

7

）．

（3）設(shè)D（m，-

3

4

m+3），
∵B（-1，0），C（4，0）．
∴BD²=（m+1）²+（-

3

4

m+3）²，CD²=（m-4）²+（-

3

4

m+3）²，
∵BD=CD，
∴（m+1）²+（-

3

4

m+3）²=（m-4）²+（-

3

4

m+3）²，解得m=

3

2

，
∴D（

3

2

，

15

8

）．
∴

S△ABD

S△BCD

=

S△ABC-S△BDC

S△BCD

=

1 2 ×5× 15 7 - 1 2 ×5× 15 8

1 2 ×5× 15 8

=

1

7

．
所以此時△ABD與△BCD的面積的比值為

1

7

．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，以及相交線的問題，利用兩解析式聯(lián)立求解交點(diǎn)坐標(biāo)是常用的方法，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用．