Question

13．如圖，已知⊙O的半徑為2，C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，弧AC的度數(shù)是100°，D為弧BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直徑AB上，則PC+PD的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′與AB的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，CD′的長(zhǎng)度為PC+PD的最小長(zhǎng)度，求出弧BC的度數(shù)，再求出弧BD的度數(shù)，從而得到弧CD′的度數(shù)，連接OD′，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD′，然后根據(jù)垂徑定理求解即可．

解答 解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′，
由軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，CD′與AB的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，CD′的長(zhǎng)度為PC+PD的最小長(zhǎng)度，
∵弧AC的度數(shù)為100°，
∴弧BC的度數(shù)為180°-100°=80°，
∵弧BC=2弧BD，
∴弧BD的度數(shù)=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∴弧CD′的度數(shù)=80°+40°=120°，
連接OD′，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD′，
則∠COD′=120°，OE垂直平分CD′，
∴CD′=2CE=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=2$\sqrt{3}$．
∴PC+PD的最小值是2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，垂徑定理，解直角三角形，熟練掌握最短路線的確定方法，找出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．