Question

8．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：DE為⊙O的切線．
（2）求證：DF²=BF•AF．

Answer 1

分析 （1）連AD，OD，則∠ADB=∠ADC=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得：EA=ED，∠EDA=∠EAD，由等腰三角形的性質(zhì)得：∠ODA=∠OAD，證得∠EDO=∠EAO，即可得出結(jié)論；
（2）證明：由切線的性質(zhì)得：∠ODF=∠FDB+∠ODB=∠FAD+∠OBD=90°，證出∠FDB=∠FAD，∠F為公共角，得出△FDB∽△FAD，由對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連AD，OD，如圖所示：
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴EA=ED，
∴∠EDA=∠EAD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠EDO=∠EAO，
∵AB⊥AC，
∴∠EAO=90°，
∴∠EDO=90°，
∴DE為⊙O的切線；
（2）證明：∵DE為⊙O的切線，
∴∠ODF=∠FDB+∠ODB=∠FAD+∠OBD=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠FDB=∠FAD，
又∵∠F為公共角，
∴△FDB∽△FAD，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{BF}{DF}$，
∴DF²=BF•AF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．