Question

【題目】已知，如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，B（5，2），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度由點(diǎn)C向B 運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PODB是平行四邊形？

（2）在直線CB上是否存在一點(diǎn)Q，使得O、D、Q、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）在線段PB上有一點(diǎn)M，且PM＝2.5，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)多少，四邊形OAMP的周長(zhǎng)最小值為多少，并畫圖標(biāo)出點(diǎn)M的位置．

Answer 1

【答案】（1）t＝1.25；（2）①Q（4，2）；②Q（1.5，2），③Q（﹣1.5，2）；（3）、．

【解析】

（1）先求出OA，進(jìn)而求出OD=2.5，再由運(yùn)動(dòng)知BP=5-2t，進(jìn)而由平行四邊形的性質(zhì)建立方程5-2t=2.5即可得出結(jié)論；
（2）分三種情況討論，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出四邊形OAMP周長(zhǎng)最小，得出AM+DM最小，即可確定出點(diǎn)M的位置，再用三角形的中位線得出BM，進(jìn)而求出PC，即可得出結(jié)論．

（1）∵四邊形OABC為矩形，B（5，2），

∴BC＝OA＝5，AB＝OC＝2，

∵點(diǎn)D時(shí)OA的中點(diǎn)，

∴OD＝OA＝2.5，

由運(yùn)動(dòng)知，PC＝2t，

∴BP＝BC﹣PC＝5﹣2t，

∵四邊形PODB是平行四邊形，

∴PB＝OD＝2.5，

∴5﹣2t＝2.5，

∴t＝1.25；

（2）①當(dāng)Q點(diǎn)在P的右邊時(shí)，如圖1，

∵四邊形ODQP為菱形，

∴OD＝OP＝PQ＝2.5，

∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝1.5，

∴2t＝1.5；

∴t＝0.75，

∴Q（4，2）；

②當(dāng)Q點(diǎn)在P的左邊且在BC線段上時(shí)，如圖2，

同①的方法得出t＝2，

∴Q（1.5，2），

③當(dāng)Q點(diǎn)在P的左邊且在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，

同①的方法得出，t＝0.5，

∴Q（﹣1.5，2）；

（3）t＝

如圖4，

由（1）知，OD＝2.5，

∵PM＝2.5，

∴OD＝PM，

∵BC∥OA，

∴四邊形OPMD時(shí)平行四邊形，

∴OP＝DM，

∵四邊形OAMP的周長(zhǎng)為OA+AM+PM+OP＝5+AM+2.5+DM＝7.5+AM+DM，

∴當(dāng)AM+DM最小時(shí)，四邊形OAMP的周長(zhǎng)最小，

∴作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE交PB于M，

∴AB＝EB，

∵BC∥OA，

∴BM＝AD＝，

∴PC＝BC﹣BM﹣PM＝5﹣﹣＝，DM+AM＝DE＝＝＝，

∴t＝÷2＝，周長(zhǎng)的最小值為．