Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5．點E為線段CD上一動點（不與點C重合），△BCE關于BE的軸對稱圖形為△BFE，連接CF．設CE=x，△BCF的面積為S₁，△CEF的面積為S₂．
（1）當點F落在梯形ABCD的中位線上時，求x的值；
（2）試用x表示

S2

S1

，并寫出x的取值范圍；
（3）當△BFE的外接圓與AD相切時，求

S2

S1

的值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用梯形中位線的性質，證明△BCF是等邊三角形；然后解直角三角形求出x的值；
（2）利用相似三角形（或射影定理）求出線段EG與BE的比，然后利用

S2

S1

=

EG

BG

求解；
（3）依題意作出圖形，當△BFE的外接圓與AD相切時，線段BE的中點O成為圓心．作輔助線，如答圖3，構造一對相似三角形△OMP∽△ADH，利用比例關系列方程求出x的值，進而求出

S2

S1

的值．

解答：解：（1）當點F落在梯形ABCD中位線上時，
如答圖1，過點F作出梯形中位線MN，分別交AD、BC于點M、N．

由題意，可知ABCD為直角梯形，則MN⊥BC，且BN=CN=

1

2

BC．
由軸對稱性質，可知BF=BC，
∴BN=

1

2

BF，
∴∠BFN=30°，∴∠FBC=60°，
∴△BFC為等邊三角形．
∴CF=BC=4，∠FCB=60°，
∴∠ECF=30°．
設BE、CF交于點G，由軸對稱性質可知CG=

1

2

CF=2，CF⊥BE．
在Rt△CEG中，x=CE=

CG

cos30°

=

2

3 2

=

4 3

3

．
∴當點F落在梯形ABCD的中位線上時，x的值為

4 3

3

．

（2）如答圖2，由軸對稱性質，可知BE⊥CF．

∵∠GEC+∠ECG=90°，∠GEC+∠CBE=90°，
∴∠GCE=∠CBE，
又∵∠CGE=∠ECB=90°，
∴Rt△BCE∽Rt△CGE，
∴

BE

CE

=

CE

EG

，
∴CE²=EG•BE   ①
同理可得：BC²=BG•BE  ②
①÷②得：

EG

BG

=

CE2

BC2

=

x2

16

．
∴

S2

S1

=

S△CEF

S△BCF

=

1 2 CF•EG

1 2 CF•BG

=

EG

BG

=

x2

16

．
∴

S2

S1

=

x2

16

（0＜x≤5）．

（3）當△BFE的外接圓與AD相切時，依題意畫出圖形，如答圖3所示．
設圓心為O，半徑為r，則r=

1

2

BE=

x2+16

2

．
設切點為P，連接OP，則OP⊥AD，OP=r=

x2+16

2

．

過點O作梯形中位線MN，分別交AD、BC于點M、N，
則OM為梯形ABED的中位線，∴OM=

1

2

（AB+DE）=

1

2

（3+5-x）=

1

2

（8-x）．
過點A作AH⊥CD于點H，則四邊形ABCH為矩形，
∴AH=BC=4，CH=AB=3，∴DH=CD-CH=2．
在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD=

AH2+DH2

=

42+22

=2

5

．
∵MN∥CD，
∴∠ADH=∠OMP，又∵∠AHD=∠OPM=90°，
∴△OMP∽△ADH，
∴

OM

AD

=

OP

AH

，即

1 2 (8-x)

2 5

=

x2+16 2

4

，
化簡得：16-2x=

5x2+80

，
兩邊平方后，整理得：x²+64x-176=0，
解得：x₁=-32+20

3

，x₂=-32-20

3

（舍去）
∵0＜-32+20

3

＜5
∴x=-32+20

3

符合題意，
∴

S2

S1

=

x2

16

=139-80

3

．

點評：本題是幾何綜合題，考查了直角梯形、相似、勾股定理、等邊三角形、矩形、中位線、圓的切線、解方程、解直角三角形等知識點，考查了軸對稱變換與動點型問題，涉及考點較多，有一定的難度．