Question

【題目】已知拋物線y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，其中m是常數(shù)．

（1）求證：不論m為何值，該拋物線與z軸一定有兩個公共點；

（2）若該拋物線的對稱軸為直線x＝，請求出該拋物線的頂點坐標．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)頂點為（，﹣）

【解析】

（1）根據(jù)題意，由根的判別式△＝b2﹣4ac＞0得到答案；

（2）結(jié)合題意，根據(jù)對稱軸x＝﹣得到m＝2，即可得到拋物線解析式為y＝x2﹣5x+6，再將拋物線解析式為y＝x2﹣5x+6變形為y＝x2﹣5x+6＝（x﹣）2﹣，即可得到答案.

（1）證明：a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝m2+m，

∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2+m）＝1＞0，

∴拋物線與x軸有兩個不相同的交點．

（2）解：∵y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，

∴對稱軸x＝﹣＝＝，

∵對稱軸為直線x＝，

∴＝，

解得m＝2，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣5x+6，

∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣）2﹣，

∴頂點為（，﹣ ）．