Question

證明：在2¹-1，2²-1，2³-1，…，2^n-1-1這n-1個數(shù)中，至少有一個數(shù)能被n整除（其中n為大于1的奇數(shù)）．

Answer 1

考點：抽屜原理,數(shù)的整除性

專題：證明題

分析：用數(shù)學歸納法來證明．從特殊到一般，當n=2，易得出成立，再假設n=k時成立，從而證明出n=k+1時也成立，結論得證．

解答：證明：用數(shù)學歸納法來證明．
（1）當n=2時成立．
（2）假設，當n=k時，成立．
（3）證明：當n=k+1時也成立． 
（31）2n-1個互不相同的整數(shù)中n個整數(shù)的和，有C（n，2n-1）種互不相同的可能性． 
（32）這C（n，2n-1）種互不相同的可能性，落在[0，（2n-1）•n]區(qū)間內．在這個區(qū)間內，不能被n整除的整數(shù)個數(shù)是（2n-1）•（n-1）個． 
（33）證明C（n，2n-1）＞（2n-1）•（n-1）． 
（34）原命題得證．

點評：本題考查了抽屜原理以及整除問題，是一道競賽題目，難度較大．