Question

（2012•衢州二模）在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連接AB并延長AB至點D，使DB=AB，連接OB、DC相交于E，過E作OA的垂線，垂足為F，連接AE．
（1）如圖，當∠AOB=15°時，①求弧AB的長； ②求△OAB的面積；
（2）在點B運動過程中，
①若以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，請求出此時點F的坐標；
②若以點E、C、F為頂點的三角形與△ABE相似，請直接寫出此時點F的坐標．

Answer 1

分析：（1）①如圖，連接BC，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=2∠AOB=30°，然后根據(jù)弧長公式計算弧AB的長；
②作BP⊥OA于P，根據(jù)圓周角定理得∠OBA=90°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到BP=

5

2

，然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（2）連結(jié)OD，由AB=BD，AB⊥OB，根據(jù)等腰三角形的判定方法得到△ODA為等腰三角形，則CB=

1

2

OD，CB∥OD，根據(jù)相似三角形的判定得△BCE∽△ODE，利用相似比得BE：OE=CE：DE=1：2，
①當Rt△ECF∽Rt△AOB時有∠AOB=∠ECF，則EO=EC，所以OF=

1

2

OC=

5

2

，得到F點坐標為（

5

2

，0）；當Rt△ECF∽Rt△OAB，作DH⊥OA，易得∠BAO=∠FCE，則DC=DA，得到CH=

5

2

，利用EF∥DH得到CF：CH=CE：CD=1：3，可計算出CF=

5

6

，所以OF=

35

6

，于是得到F點坐標為（

35

6

，0）；
②當Rt△ECF∽Rt△AEB，連結(jié)BF，由∠EFA=∠EBA=90°得到點E、F、A、B共圓，根據(jù)圓周角定理得∠AEB=∠AFB，而∠AFB=∠ECF，所以CE∥BF，則OC：OF=OE：OB=2：3，可計算出OF=

15

2

，得到F點坐標為（

15

2

，0）；當Rt△ECF∽Rt△EAB時有∠ECF=∠EAB，又由∠EBA=90°，AB=DB可判斷△EAD為等腰三角形，得∠EAD=∠ADE，所以∠ADE=∠ECF，則AD=AC=5，AB=

5

2

，在Rt△OAB中利用勾股定理計算出OB=

5 15

2

，則OE=

2

3

OB=

5 15

3

，易得Rt△OEF∽Rt△OAB，利用相似比可計算出OF=

25

4

，于是得到F點坐標為（

25

4

，0）．

解答：解：（1）如圖，連接BC，
∵點A（10，0），
∴OC=AC=5，
∴∠ACB=2∠AOB=30°，
①弧AB的長為：

30π×5

180

=

5

6

π；
②作BP⊥OA于P，如圖，
∵OA是半圓C的直徑，
∴∠OBA=90°，
∵∠ACB=30°，CB=5，
∴BP=

1

2

BC=

5

2

，
∴S_△OAB=

1

2

×

5

2

×10=

25

2

；

（2）連結(jié)OD，
∵AB=BD，AB⊥OB，
∴△ODA為等腰三角形，
∴OD=OA=10，
∴CB=

1

2

OD，CB∥OD，
∴△BCE∽△ODE，
∴BE：OE=CE：DE=BC：OD=1：2，
①當Rt△ECF∽Rt△AOB，如圖，
∴∠AOB=∠ECF，
∴EO=EC，
而EF⊥OC，
∴OF=

1

2

OC=

5

2

，
∴F點坐標為（

5

2

，0）；
當Rt△ECF∽Rt△OAB，作DH⊥OA，如圖，
∴∠BAO=∠FCE，
∴DC=DA，
∴CH=AH=

1

2

CA=

5

2

，
∵EF∥DH，CE：DE=1：2，
∴CF：CH=CE：CD=1：3，
∴CF=

1

3

CH=

5

6

，
∴OF=OC+CF=

35

6

，
∴F點坐標為（

35

6

，0）；
②當Rt△ECF∽Rt△AEB，連結(jié)BF，如圖，
∴∠ECF=∠AEB，
∵∠EFA=∠EBA=90°，
∴點E、F、A、B共圓，
∴∠AEB=∠AFB，
∴∠AFB=∠ECF，
∴CE∥BF，
∴OC：OF=OE：OB=2：3，
∴OF=

3

2

OC=

15

2

，
∴F點坐標為（

15

2

，0）；
當Rt△ECF∽Rt△EAB，
∴∠ECF=∠EAB，
∵∠EBA=90°，AB=DB，
∴△EAD為等腰三角形，
∴∠EAD=∠ADE，
∴∠ADE=∠ECF，
∴AD=AC=5，
∴AB=

5

2

，
在Rt△OAB中，OB=

OA2-AB2

=

5 15

2

，
∴OE=

2

3

OB=

5 15

3

，
∵Rt△OEF∽Rt△OAB，
∴OF：OB=OE：OA，
∴OF=

5 15 2 × 5 15 3

10

=

25

4

，
∴F點坐標為（

25

4

，0）．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)，并且會運用勾股定理和相似比進行幾何計算；同時掌握分類討論思想的運用．