Question

【題目】如圖，是的外接圓，，延長到點，使得，連接交于點，過點做的平行線交于點．

（1）求證：；

（2）求證：為的切線；

（3）若，，求弦的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（2）AC=．

【解析】

（1）由等腰三角形的性質可得∠DBC=∠BDC，根據(jù)圓周角定理可得∠DBC=∠CAE，即可證明∠BDC=∠CAE，進而可證明AE=DE；

（2）如圖，連接OE，根據(jù)圓周角定理及三角形外角性質可得∠ACB=2∠EAC，根據(jù)等腰三角形的性質可得∠BAC=2∠EAC，進而可證明點E為的中點，根據(jù)垂徑定理推論可得OE⊥BC，根據(jù)EF//BC可得OE⊥EF，即可證明EF是⊙O的切線；

（3）由∠ABE=∠DAB，∠BAE=∠BDA可證明，根據(jù)相似三角形的性質可求出BD的長，進而可求出DE的長，由（1）可得AE=DE，根據(jù)相似三角形的性質即可求出AD的長，根據(jù)AB=BC=CD，利用線段的和差關系即可求出AC的長．

（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）如圖，連接，

∵∠DBC=∠BDC，

∴∠ACB=2∠DBC，

∵∠DBC=∠EAC，

∴∠ACB=2∠EAC，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠ACB，

∴∠BAC=2∠EAC，

∴∠EAC=∠EAB，

∴點為的中點，

∴，

∵，

∴，

∴為圓的切線．

（3）在和中，，

∴，

∴，

∴，

∵AB=5，BE=3，

∴

∴，

由（1）得，

∵，

∴，

∵，

∴．