Question

【題目】如圖，把矩形ABCD沿AC折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，AE交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交AC于點(diǎn)G，交CF于點(diǎn)H，連接DG．

（1）求證：四邊形ECDG是菱形；

（2）若DG＝6，AG＝，求EH的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，鄰邊相等的平行四邊形為菱形證得結(jié)論；

（2）如圖，連接交于點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形，由該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得，可求的長(zhǎng)，的長(zhǎng)，通過(guò)證明可得的長(zhǎng)，即可求的值.

解：（1）由折疊可知DC＝EC，∠DCG＝∠ECG．

∵EG∥CD，

∴∠DCG＝∠EGC，

∴∠EGC＝∠ECG，

∴EG＝EC，

∴EG＝DC，且EG∥CD

∴四邊形ECDG是平行四邊形．

∵EG＝EC，

∴平行四邊形ECDG是菱形

（2）如圖，連接ED交AC于點(diǎn)O，

∵四邊形ECDG是菱形，

∴ED⊥AC，，CD＝GE＝6＝DG，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，

∴△DCO∽△ACD，

∴，

∴DC2＝OCAC，

設(shè)OC＝x，則CG＝2x，，

∴36＝x（2x+），

解得，（不合題意，舍去），

∴，，

∵EG∥CD，CD⊥BC，

∴EG⊥BC，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，且∠GHC＝∠ADC＝90°，

∴△ADC∽△CHG，

∴，

∴GH＝，

∵EH＝EG﹣GH，

∴EH＝6﹣＝.