Question

【題目】（1）（問題情境）小明遇到這樣一個問題：

如圖①，已知是等邊三角形，點為邊上中點，，交等邊三角形外角平分線所在的直線于點，試探究與的數(shù)量關系．

小明發(fā)現(xiàn)：過作，交于，構造全等三角形，經(jīng)推理論證問題得到解決．請直接寫出與的數(shù)量關系，并說明理由．

（2）（類比探究）

如圖②，當是線段上（除外）任意一點時（其他條件不變）試猜想與的數(shù)量關系并證明你的結論．

（3）（拓展應用）

當是線段上延長線上，且滿足（其他條件不變）時，請判斷的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2），理由見解析；（3）是等邊三角形，理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而證出是等邊三角形，即可證出，然后證出、，最后利用ASA即可證出，從而得出結論；

（2）過作交于，同理可知是等邊三角形，從而證出，再證出和，利用ASA即可證出，從而得出結論；

（3）根據(jù)等三角形的性質(zhì)和已知條件可得，再根據(jù)三線合一可得垂直平分，從而得出，再根據(jù)等邊三角形的判定即可證出結論．

解：（1），理由如下：

∵是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

又，

∴，

∵是外角平分線，

∴，

∴，

∴

∵，

∴，

∴在與中，

∴，

∴；

（2）

證明：過作交于，

∵是等邊三角形，

∴是等邊三角形，

∴BF=BD

∴

∵，，

∴

∵是外角平分線，

∴，

∴，

∴

在與中，

∴，

∴；

（3）是等邊三角形，

∵是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∵是等邊三角形外角平分線．

∴垂直平分，

∴，

∵，

∴是等邊三角形．