Question

【題目】如圖，正方形ABCD，將邊CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段CE，連接DE，AE，BD交于點(diǎn)F．

(1)求∠AFB的度數(shù)；

(2)求證：BF＝EF；

(3)連接CF，直接用等式表示線段AB，CF，EF的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）∠AFB＝60°；（2）見解析；（3）AB+CF＝2EF．

【解析】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠ADB＝45°，再有旋轉(zhuǎn)圖形的邊相等，則對(duì)應(yīng)的底角也相等求出∠DAE＝∠DEA＝15°，從而得到∠AFB＝60°.

(2)由等邊三角形及∠DEA＝15°，得到∠CEF＝∠CBF＝45°，再結(jié)合已知根據(jù)SAS證明△ADF≌△CDF，再由角的代換證明出△ECF≌△BCF，從而證明BF＝EF.

(3過(guò)C作CG⊥BD于G,由已知求出∠GCF＝30°從而得到CF＝2FG，設(shè)FG＝x，從而求出AB+CF＝2x+2x，EF＝BF＝BG+FG＝x+x，最終得到AB+CF＝2EF.

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB＝∠ADC＝45°，

由旋轉(zhuǎn)得：CD＝CE，∠DCE＝60°，

∴△DCE是等邊三角形，

∴CD＝DE＝AD，∠ADE＝90°+60°＝150°，

∴∠DAE＝∠DEA＝15°，

∴∠AFB＝∠FAD+∠ADB＝15°+45°＝60°；

（2）連接CF，

∵△CDE是等邊三角形，

∴∠DEC＝60°，

∵∠DEA＝15°，

∴∠CEF＝∠CBF＝45°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADF＝∠CDF＝45°，

∵DF＝DF，

∴△ADF≌△CDF（SAS），

∴∠DAF＝∠DCF＝15°，

∴∠FCB＝90°﹣15°＝75°，∠ECF＝60°+15°＝75°，

∴∠FCB＝∠ECF，

∵CF＝CF，

∴△ECF≌△BCF（SAS），

∴BF＝EF；

（3）AB+CF＝2EF，理由是：

過(guò)C作CG⊥BD于G，

∵∠CBD＝45°，

∴△CGB是等腰直角三角形，

∵∠BCF＝75°，

∴∠GCF＝30°，

∴CF＝2FG，

設(shè)FG＝x，則CF＝2x，CG＝BG＝x，

∴BC＝AB＝CG＝x，

∴AB+CF＝2x+2x，EF＝BF＝BG+FG＝x+x，

∴AB+CF＝2EF．