Question

已知直線y=-2x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)及x軸上另一點(diǎn)C，且AC=2．
（1）當(dāng)tan∠BCO＜tan∠BAO時(shí)，求拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-2，0），在直線y=-2x+6上確定點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似．
（3）在（1）、（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)tan∠BCO＜tan∠BAO，則B在A的右側(cè)，求出A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）作出△ADP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AP的長(zhǎng)，再根據(jù)等積法求出P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)△ADE的面積等于四邊形APCE的面積，求出E的縱坐標(biāo)，由于其小于頂點(diǎn)坐標(biāo)，故E不存在．

解答：解：（1）∵直線y=-2x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
∴A、B點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0），（0，6），
∵tan∠BCO＜tan∠BAO，
∴C在A的右側(cè)，
又∵AC=2，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），
如圖1：設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x-3）（x-5）
將B（0，6）代入解析式得，6=a（0-3）（0-5），
整理得，a=

2

5

，函數(shù)解析式為y=

2

5

x²-

16

5

x+6．

（2）①如圖2，當(dāng)△DPA∽△BOA時(shí)，
∵AO=3，BO=6，
∴AB=

32+62

=

45

=3

5

，

AP

AO

=

AD

AB

，
即

AP

3

=

5

3 5

，
AP=

5

，
在△APD中，DP=

AD2-AP2

=

52-( 5 )2

=2

5

，
設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，

1

2

×5y=

1

2

×

5

×2

5

，解得y=2，
把y=2代入y=-2x+6得，2=-2x+6，
x=2，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
②如圖3，△DPA∽△OBA時(shí)，

AO

AD

=

OB

PD

，即

3

5

=

6

PD

，
解得PD=10，
將PD=10代入y=-2x+6得，
-2x+6=10，解得x=-2，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，10）．
故點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，2）或（-2，10）．

（3）如圖4：設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為|y|，
S_△ADE=

1

2

×5|y|=

5|y|

2

；
S_{四邊形PAEC}=S_△PAC+S_△ACE=

1

2

×2×2+

1

2

×2×|y|，
則

5|y|

2

=

1

2

×2×2+

1

2

×2×|y|，
解得|y|=

4

3

，
即y=-

4

3

．
∵y=

2

5

x²-

16

5

x+6的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為

4× 2 5 ×6-( 16 5 )2

4× 2 5

=-

2

5

，
∵-

4

3

＜-

2

5

，
∴不存在點(diǎn)E．
如圖5：設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為|y|，
S_△ADE=

1

2

×5|y|=

5|y|

2

；
S_{四邊形PAEC}=S_△PAC+S_△ACE=

1

2

×2×10+

1

2

×2×|y|，
則

5|y|

2

=

1

2

×2×10+

1

2

×2×|y|，
解得y=-

20

3

，
∵-

20

3

＜-

2

5

，
∴不存在點(diǎn)E．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性很強(qiáng)，主要考查同學(xué)們的邏輯思維能力．