【題目】在菱形ABCD中,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,且AC=16cm,BD=12cm;點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AD方向勻速運(yùn)動,速度為2cm/s;點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿CO方向勻速運(yùn)動,速度為1cm/s;若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動.過點(diǎn)Q作MQ∥BC,交BD于點(diǎn)M,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s)(0<t<5).解答下列問題:

(1)求t為何值時(shí),線段AQ、線段PM互相平分.
(2)設(shè)四邊形APQM的面積為Scm2 , 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;設(shè)菱形ABCD的面積為SABCD , 求是否存在一個(gè)時(shí)刻t,使S:SABCD=2:5?如果存在,求出t,如果不存在,請說明理由.
(3)求時(shí)刻t,使得以M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.

【答案】
(1)解:如圖1中,連接PM.

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,OA=OC=8,OB=OD=6,AB∥BC,

∵QM∥BC,

∴AP∥QM,

當(dāng)PA=QM時(shí),四邊形AMQP是平行四邊形,此時(shí)AQ與PM互相平分.

在Rt△BOC中,BC= =10,

= ,

= ,

∴QM= (8﹣t),

∵PA=QM,

∴2t= (8﹣t),

∴t= ,

∴當(dāng)t= 時(shí),AQ與PM相互平分


(2)解:不存在.理由如下:

如圖2中,作QH⊥AD于H,

∵△AOD∽△AHQ,

= ,

=

∴QH= (16﹣t),

∴S= [2t+ (8﹣t)] (16﹣t)=﹣ t2+ t+48,

∵S:SABCD=2:5,

[2t+ (8﹣t)] (16﹣t): ×16×12=2:5,

整理得3t2﹣8t﹣128=0

∴t=8或﹣

∵0<t<5,

∴t=8或﹣ 都不符合題意


(3)解:①如圖3中,當(dāng)∠PMQ=90°時(shí),

∵△MPD∽△AOD,

= ,

=

∴t=

②如圖4中,當(dāng)PQ⊥MQ時(shí),

∵△APQ∽△AOD,

= ,

=

∴t= ,

綜上所述,當(dāng)t= s或 s時(shí),△PQM是直角三角形


【解析】(1)當(dāng)AP=QM時(shí),列出方程即可解決問題;
(2)不存在.理由如下:如圖2中,作QH⊥AD于H,由△AOD∽△AHQ,可得=,L列出關(guān)于t的方程,根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可;
(3)分兩種情形①如圖3中,當(dāng)∠PMQ=90°時(shí),②如圖4中,當(dāng)PQ⊥MQ時(shí),分別利用相似三角形的性質(zhì),列出方程即可解決問題。

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用勾股定理的概念和梯形的定義,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;一組對邊平行,另一組對邊不平行的四邊形是梯形.兩腰相等的梯形是等腰梯形即可以解答此題.

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根據(jù)如圖,寫出一個(gè)代數(shù)恒等式:

;

利用⑴中得到的結(jié)論,解決下面的問題:若a+b+c=12,

;

小明同學(xué)用如圖中x張邊長為a的正方形,y張邊長為b的正方形,z張寬、長分別為a、b的長方形紙片拼出一個(gè)面積為(2a+b)(a+3b)的長方形,則xyz= ;

(知識遷移)⑷ 類似地,用兩種不同的方法計(jì)算幾何體的體積同樣可以得到一些代數(shù)恒等式.如圖表示的是一個(gè)邊長為x的正方體挖去一個(gè)邊長為2的小長方體后重新拼成一個(gè)新長方體.請你根據(jù)如圖中兩個(gè)圖形的變化關(guān)系,寫出一個(gè)代數(shù)恒等式.

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v(千米/小時(shí))

75

80

85

90

95

t(小時(shí))

4.00

3.75

3.53

3.33

3.16

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(2)當(dāng)= °時(shí),能使如圖中3的AB//CD

(3)連接BD,當(dāng)時(shí),探尋∠DBC′+CAC′+BDC值的大小變化情況,并給出你的說明.

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