Question

10．已知⊙O的半徑為$\sqrt{6}$，OC垂直于弦AB，垂足為C，AB=2$\sqrt{2}$，點(diǎn)D在⊙O上．
（1）如圖1，若點(diǎn)D在AO的延長線上，連結(jié)CD交半徑OB于點(diǎn)E，連結(jié)BD，求BD，ED的長；
（2）若射線OD與AB的延長線相交于點(diǎn)F，且△OCD是等腰三角形，請在圖2畫示意圖并求出AF的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，由垂徑定理得到AC=BC=$\sqrt{2}$，再根據(jù)勾股定理計算出OC=2，接著證明OC為△ABD的中位線，則BD=2OC=4，則可利用勾股定理計算出CD，然后證明△OCE∽△BDE，利用相似比可計算出DE；
（2）討論：當(dāng)DC=DO，作DG⊥OC于G，則CG=OG，如圖2，則CF=2DG，再利用勾股定理計算出DG，從而得到CF，然后可計算出AF；當(dāng)CD=CO時，作CG⊥OD于G，如圖3，則DG=OG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，利用勾股定理計算出CG，再證明△OGC∽△COF，利用相似比可計算出CF，從而可得AF的長．

解答 解：（1）如圖1，∵OC⊥AB，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
在Rt△AOC中，OC=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∵AD為直徑，
∴∠ABD=90°，
∵OC∥BD，
∴OC為△ABD的中位線，
∴BD=2OC=4，
在Rt△BCD中，CD=$\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵OC∥BD，
∴△OCE∽△BDE，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{OC}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{2}{3}$CD=2$\sqrt{2}$；
（2）當(dāng)DC=DO，作DG⊥OC于G，則CG=OG，如圖2，
∴DG為△OCF的中位線，
∴CF=2DG，
在Rt△ODG中，DG=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CF=2$\sqrt{5}$，
∴AF=CF+AC=2$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$；
當(dāng)CD=CO時，作CG⊥OD于G，如圖3，則DG=OG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△OCG中，CG=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵∠GOC=∠COF，
∴△OGC∽△COF，
∴$\frac{CG}{CF}$=$\frac{OG}{OC}$，即$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{CF}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{2}$，解得CF=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，
∴AF=CF+AC=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$+$\sqrt{2}$，
綜上所述，AF的長為2$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$或$\frac{2\sqrt{15}}{3}$+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：兩個三角形相似也有對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了勾股定理、垂徑定理和圓周角定理．