Question

【題目】在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中點，E是AB的中點，作EF⊥BC于F，延長BC至G，使CG=BF，連接CE、DE、DG．
（1）如圖1，求證：四邊形CEDG是平行四邊形 ；
（2）如圖2，連接EG交AC于點H，若EG⊥AB，請直接寫出圖2中所有長度等于 GH的線段．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，

∵∠ACB=90°，AE=EB，

∴EC=EA=EB，

∵EF⊥BC，

∴CF=FB，

∵AD=DC，AE=EB，

∴DE∥BC，DE= BC=BF，

∵CG=BF，

∴DE=CG，DE∥CG，

∴四邊形四邊形CEDG是平行四邊形

（2）解：如圖2中，

∵四邊形四邊形CEDG是平行四邊形，

∴DH=CH，GH=HE，設(shè)DH=CH=a，則AD=CD=2a，

∵∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，

∴△ADE∽△AEH，

∴AE2=ADAH=2a3a=6a2，

∴AE= a，

在Rt△AEH中，HE= = = a，

∴AE= HE，

∵GH=HE，AE=EB=CE=CD，

∴線段AE、EB、EC、GD都是線段GH的 倍

【解析】（1）欲證明四邊形CEDG是平行四邊形，只要證明DE∥CG，DE=CG即可．（2）由四邊形四邊形CEDG是平行四邊形，推出DH=CH，GH=HE，設(shè)DH=CH=a，則AD=CD=2a，由∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，推出△ADE∽△AEH，推出AE2=ADAH=2a3a=6a2 ， 推出AE= a，在Rt△AEH中，HE= = = a，推出AE= HE，因為GH=HE，AE=EB=CE=CD，即可推出線段AE、EB、EC、GD都是線段GH的 倍．
【考點精析】關(guān)于本題考查的三角形中位線定理和平行四邊形的判定與性質(zhì)，需要了解連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能得出正確答案．