Question

已知，∠CAD=∠CDA，AC=BD，E在BC上，DE=EC，求證：AD平分∠BAE．

Answer 1

考點：等腰三角形的性質

專題：證明題

分析：先由∠CAD=∠CDA，根據(jù)等角對等邊得出AC=DC，于是可證AC：BC=EC：AC=

1

2

，又∠C公共，得出△BAC∽△AEC，那么∠B=∠CAE，再由∠CAD=∠DAE+∠CAE=∠DAE+∠B，∠CDA=∠B+∠BAD，即可證明∠DAE=∠BAD，AD平分∠BAE．

解答：證明：∵∠CAD=∠CDA，
∴AC=DC．
又∵AC=BD，
∴AC=BD=DC．
∴AC：BC=AC：（BD+DC）=

1

2

，
∵DE=EC，DE+EC=DC，
∴EC=

1

2

DC=

1

2

AC，
∴EC：AC=（

1

2

AC）：AC=

1

2

，
∴AC：BC=EC：AC=

1

2

．
在△BAC與△AEC中，

AC：BC=EC：AC ∠C=∠C ;

∴△BAC∽△AEC，
∴∠B=∠CAE，
∴∠CAD=∠DAE+∠CAE=∠DAE+∠B，
∵∠CDA=∠B+∠BAD，
又∵∠CAD=∠CDA，
∴∠DAE=∠BAD，
∴AD平分∠BAE．

點評：本題考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性質，相似三角形的判定與性質，難度適中．得出AC：BC=EC：AC=

1

2

是解題的關鍵．