Question

12．如圖所示，已知△ABC為圓內接正三角形，P為$\widehat{BC}$上任一點，PA交BC于D，求證：$\frac{1}{PB}$+$\frac{1}{PC}$=$\frac{1}{PD}$．

Answer 1

分析 根據圓周角定理得到∠CAD=∠PBD，∠APB=∠ACB，推出△PBD∽△ACD，根據相似三角形的性質得到$\frac{AC}{PB}=\frac{CD}{PD}$，同理$\frac{AB}{PC}=\frac{BD}{PD}$，兩式相加得到$\frac{AC}{PB}+\frac{AB}{PD}=\frac{CD}{PD}+\frac{BD}{PD}$=$\frac{BC}{PD}$，即可得到結論．

解答 解：∵∠CAD=∠PBD，∠APB=∠ACB，
∴△PBD∽△ACD，
∴$\frac{AC}{PB}=\frac{CD}{PD}$，同理$\frac{AB}{PC}=\frac{BD}{PD}$，
∴$\frac{AC}{PB}+\frac{AB}{PD}=\frac{CD}{PD}+\frac{BD}{PD}$=$\frac{BC}{PD}$，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∴$\frac{1}{PB}$+$\frac{1}{PC}$=$\frac{1}{PD}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，等邊三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．