Question

如圖2，△ABC與△DEA是兩個全等的等腰三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分別與AD、AE相交于點(diǎn)F、G，BF≠CG．

（1）圖中有哪幾對不全等的相似三角形，請把他們表示出來．
（2）根據(jù)圖1兩位同學(xué)對圖形的探索，試探究BF、FG、GC之間的關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）直接根據(jù)相似三角形判定定理找出所有不全等的相似三角形的個數(shù)；
（2）方法（一）把△ABF、△AGC分別沿AD、AE折疊，利用三角形全等的知識證明∠FPG=∠B+∠C=90°，進(jìn)而可以證明BF、FG、GC之間的關(guān)系；
方法（二）標(biāo)出∠1、∠2、∠3、∠4，把△ABF旋轉(zhuǎn)至△ACP，得△ABF≌△ACP，再利用三角形全等的知識證明∠ACP+∠ACB=90°，進(jìn)而可以證明BF、FG、GC之間的關(guān)系．

解答：解：（1）共有3對．
△GAF∽△G AB；
△FAC∽△FGA；
△ABG∽△FAC；
（或△GAF∽△G AB∽△FAC）

（2）證明方法（一）

∵把△ABF、△AGC分別沿AD、AE折疊，
∴△ABF≌△APF，△ACG≌△APG，
∵B、C兩點(diǎn)重合，
∴BF=FP，CG=GP，∠FPG=∠B+∠C=90°
在Rt△PFG中，GF²=PG²+PF²FG²=BF²+GC²．

或證明方法（二）把△ABF旋轉(zhuǎn)至△ACP，

得△ABF≌△ACP，
∴∠1=∠4，AF=AP，CP=BF，∠ACP=∠B，∠1+∠3=45°，
∴∠4+∠3=45°，∠2=∠4+∠3=45°，
在△AFG和△AGP中，

AF=AP ∠2=∠PAG AG=AG

，
∴△AFG≌△AGP（SAS），
∴FG=GP，∠ACP+∠ACB=90°，
在Rt△PGC中，GF²=CG²+CP²FG²=BF²+GC²．

點(diǎn)評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定，三角形全等的判定與性質(zhì)；解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)知識，全等三角形的證明．