Question

20．如圖所示，菱形ABCD的頂點A、B在x軸上，點A在點B的左側，點D在y軸的正半軸上，∠BAD=60°．點A的坐標為（-2，0）．
（1）點B的坐標（2，0）；
（2）菱形ABCD的面積=8$\sqrt{3}$；
（3）動點P從點A出發(fā)向點D運動，問是否在線段AC上存在點E，使得PE+DE最小？存在的話，最小值是2$\sqrt{3}$；
（4）動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，按照A→D→C→B→A的順序在菱形的邊上勻速運動一周，設運動時間為t秒，求t為何值時，點P到AC的距離是1？

Answer 1

分析 （1）在△OAD中可求得∠ADO=30°，由含30°直角三角形的性質可求得AD的長，由菱形的性質可得到AB的長，從而可求得點B的坐標；
（2）在△AOD中，依據(jù)勾股定理可求得OD的長，然后依據(jù)菱形ABCD的面積=底×高求解即可；
（3）如圖所示：過點B作BP⊥AD，垂直為P，BP交AC于點E，連接DE．由菱形的性質可知點D與點B關于AC對稱，依據(jù)軸對稱圖形的性質可證明PE+DE=PE+EB=PB，接下來在△ABP中由勾股定理可求得PB的長，從而得到PE+DE的最小值；
（4）分為當點P在AB上，點P在DC上、點P在BC上、點P在AB上四種情況求解即可．例如當點P在AD上時，可過點P作PE⊥AC，由含30°直角三角形的性質求得PA的長，從而求得t的值．

解答 解：（1）∵∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴∠ADO=30°．
∴AD=2OA=4．
∵ABCD為菱形，
∴AB=AD=4．
∴OB=AB-OA=2．
∴B（2，0）．
故答案為：（2，0）．
（2）在△AOD中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
菱形ABCD的面積=AB•OD=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．
故答案為：8$\sqrt{3}$．
（3）如圖所示：過點B作BP⊥AD，垂直為P，BP交AC于點E，連接DE．

∵ABCD為菱形，
∴點D與點B關于AC對稱．
∴ED=EB．
∴PE+DE=PE+EB=PB．
∵∠BPA=90°，∠BAP=60°，
∴∠PBA=30°．
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=2．
∴PB=$\sqrt{A{B}^{2}-P{A}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴PE+DE的最小值為2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．
（4）如圖1所示：①當點P在AB上時，過點P作PE⊥AC，垂足為E．

由菱形的性質可知：∠PAE=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
∵PE=1，∠PAE=30°，∠PEA=90°，
∴AP=2．
∴t=2．
②當點P在DC上時，如圖3所示：

由菱形的性質可知：∠PCE=$\frac{1}{2}$∠DCB=30°，
∵PE=1，∠PCE=30°，∠PEC=90°，
∴CP=2．
∴AD+DP=4+2=6．
∴t=6．
③如圖4所示：當點P在BC上時．

由菱形的性質可知：∠PCE=$\frac{1}{2}$∠DCB=30°，
∵PE=1，∠PCE=30°，∠PEC=90°，
∴CP=2．
∴AD+DC+CP=4+4+2=10．
∴t=10．
④如圖5所示；點P在AB上時．

由菱形的性質可知：∠PAE=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°，
∵PE=1，∠PAE=30°，∠PEA=90°，
∴AP=2．
∴AD+DC+BC+BP=4+4+4+2=14．
∴t=14．
綜上所述，當t=2或t=6或t=10或t=14時，點P到AC的距離是1．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了菱形的性質、勾股定理、含30°直角三角形的性質、軸對稱的性質、垂線段的性質，明確當PB⊥AB且點B、E、P在一條直線上時，PE+DE有最小值是解題的關鍵．