【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點D、E、F分別在BC、AB、AC邊上,且BE=CF,AD+EC=AB.
(1)求證:△DEF是等腰三角形;
(2)當(dāng)∠A=40°時,求∠DEF的度數(shù);
(3)△DEF可能是等腰直角三角形嗎?為什么?
(4)請你猜想:當(dāng)∠A為多少度時,∠EDF+∠EFD=120°,并請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)∠DEF=70°; (3)△DEF不可能是等腰直角三角形,理由見解析;(4)當(dāng)∠A=60°時,∠EDF+∠EFD=120°,理由見解析.
【解析】
(1)首先根據(jù)條件證明△DBE≌△ECF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE=FE,進而可得到△DEF是等腰三角形;
(2)由(1)中的全等得出∠BDE=∠CEF,再由角之間的轉(zhuǎn)化,從而可求解∠DEF的大;(3)由于AB=AC,可得∠B=∠C≠90°=∠DEF,從而可確定其不可能是等腰直角三角形;
(4)先猜想出∠A的度數(shù),則可得∠EDF+∠EFD=120°,根據(jù)前面的推導(dǎo)過程知∠EDF+∠EFD=120°時,∠DEF=60°,再由∠B=∠DEF以及等腰三角形的性質(zhì)繼而推得猜想的正確性.
(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵AD+EC=AB,AB=AD+BD,
∴BD=CE,
在△BDE和△CEF中,
,
∴△BDE≌△CEF(SAS)
∴DE=EF,
∴△DEF是等腰三角形;
(2)∵∠DEC=∠B+∠BDE,
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,
由(1)知△BDE≌△CEF,
則∠BDE=∠CEF,
∴∠DEF=∠B,
∵∠A=40°,
∴∠B=∠C==70°,
∴∠DEF=70°;
(3)△DEF不可能是等腰直角三角形,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C≠90°,
由(2)知∠DEF=∠B,
∴∠DEF=∠B≠90°,
∴△DEF不可能是等腰直角三角形;
(4)當(dāng)∠A=60°時,∠EDF+∠EFD=120°,
理由是:當(dāng)∠EDF+∠EFD=120°時,
則∠DEF=180°-120°=60°,
∴∠B=∠DEF=60°,
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°,
∴當(dāng)∠A=60°時,∠EDF+∠EFD=120°.
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【題目】如圖①,已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交于點A、C,以O(shè)A、OC為邊在第一象限內(nèi)作長方形OABC.
(1)求點A、C的坐標(biāo);
(2)將△ABC對折,使得點A的與點C重合,折痕交AB于點D,求直線CD的解析式(圖②);
(3)在坐標(biāo)平面內(nèi),是否存在點P(除點B外),使得△APC與△ABC全等?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)說明BE=CF的理由;
(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的長.
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【題目】閱讀下面材料,并解答下列問題:
在形如ab=N的式子中,我們已經(jīng)研究過兩種情況:
①已知a和b,求N,這是乘方運算;
②已知b和N,求a,這是開方運算.
現(xiàn)在我們研究第三種情況:已知a和N,求b,我們把這種運算叫作對數(shù)運算.
定義:如果ab=N(a>0.a(chǎn)≠1,N>0),則b叫作以a為底的N的對數(shù),記作b=logaN.
例如:因為23=8,所以log28=3;因為,所以.
(1)根據(jù)定義計算:
①log381= ; ②log33= ;
③log31= ; ④如果logx16=4,那么x= .
(2)設(shè)ax=M,ay=N,則logaN=y(a>0,a≠1,M、N均為正數(shù)).用logaM,logaN的代數(shù)式分別表示logaMN及,并說明理由.
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【題目】如圖,△ABC的面積為3,BD:DC=2:1,E是AC的中點,AD與BE相交于點P,那么四邊形PDCE的面積為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,已知直線y=﹣x+3分別交x軸、y軸于點A、B,P是拋物線y=﹣x2+2x+5上的一個動點,其橫坐標(biāo)為a,過點P且平行于y軸的直線交直線y=﹣x+3于點Q,則當(dāng)PQ=BQ時,a的值是_____.
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【題目】某地2015年為做好“精準(zhǔn)扶貧”,投入資金1280萬元用于異地安置,并規(guī)劃投入資金逐年增加,2017年在2015年的基礎(chǔ)上增加投入資金1600萬元.
(1)從2015年到2017年,該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少?
(2)在2017年異地安置的具體實施中,該地計劃投入資金不低于500萬元用于優(yōu)先搬遷租房獎勵,規(guī)定前1000戶(含第1000戶)每戶每天獎勵8元,1000戶以后每戶每天獎勵5元,按租房400天計算,求2017年該地至少有多少戶享受到優(yōu)先搬遷租房獎勵.
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【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=x+b的圖象交于A(1,-k+4),B(k-4,-1)兩點.
(1)試確定這兩個函數(shù)的表達式;
(2)根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍.
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