【題目】已知E,F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC,CD上的點,AF,DE相交于點G,當E,F(xiàn)分別為邊BC,CD的中點時,有:①AF=DE;②AF⊥DE成立.

試探究下列問題:

(1)如圖1,若點E不是邊BC的中點,F(xiàn)不是邊CD的中點,且CE=DF,上述結論①,②是否仍然成立?(請直接回答“成立”或“不成立”),不需要證明)

(2)如圖2,若點E,F(xiàn)分別在CB的延長線和DC的延長線上,且CE=DF,此時,上述結論①,②是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程,若不成立,請說明理由;

(3)如圖3,在(2)的基礎上,連接AE和EF,若點M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點,請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種,并證明你的結論.

【答案】(1)上述結論①,②仍然成立,(2)上述結論①,②仍然成立,證明見解析;(3)四邊形MNPQ是正方形.證明見解析.

【解析】

試題分析:(1)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠DAF=∠CDE,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;

(2)由四邊形ABCD為正方形,CE=DF,易證得△ADF≌△DCE(SAS),即可證得AF=DE,∠E=∠F,又由∠ADG+∠EDC=90°,即可證得AF⊥DE;

(3)首先設MQ,DE分別交AF于點G,O,PQ交DE于點H,由點M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點,即可得MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,然后由AF=DE,可證得四邊形MNPQ是菱形,又由AF⊥DE即可證得四邊形MNPQ是正方形.

試題解析:(1)上述結論①,②仍然成立,

理由為:∵四邊形ABCD為正方形,

∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,

在△ADF和△DCE中,

,

∴△ADF≌△DCE(SAS),

∴AF=DE,∠DAF=∠CDE,

∵∠ADG+∠EDC=90°,

∴∠ADG+∠DAF=90°,

∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;

(2)上述結論①,②仍然成立,

理由為:∵四邊形ABCD為正方形,

∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°,

在△ADF和△DCE中,

,

∴△ADF≌△DCE(SAS),

∴AF=DE,∠CDE=∠DAF,

∵∠ADG+∠EDC=90°,

∴∠ADG+∠DAF=90°,

∴∠AGD=90°,即AF⊥DE;

(3)四邊形MNPQ是正方形.

理由為:如圖,設MQ,DE分別交AF于點G,O,PQ交DE于點H,

∵點M,N,P,Q分別為AE,EF,F(xiàn)D,AD的中點,

∴MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,

∴四邊形OHQG是平行四邊形,

∵AF=DE,

∴MQ=PQ=PN=MN,

∴四邊形MNPQ是菱形,

∵AF⊥DE,

∴∠AOD=90°,

∴∠HQG=∠AOD=90°,

∴四邊形MNPQ是正方形.

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