Question

11．如圖，矩形ABCD中，點E是∠ABC的平分線上一點，且AE⊥CE于點E，連接ED，BE與AD邊相交于點F．
（1）求證：EF=ED．
（2）若AB=3，BC=5，求四邊形BCDE的面積．

Answer 1

分析 （1）證得A、B、C、E四點共圓后得到∠CAE=∠3=∠2（在同圓中，等弦對等�。�，然后證得A、C、D、E四點共圓，后得到∠7=∠6，利用等角對等邊證得EF=ED；
（2）分別求得S_△EFD和S_梯形BCDF，二者相加即可求得四邊形BCDE的面積．

解答 （1）證明：
∵∠B=∠AEC=90°
∴A、B、C、E四點共圓（對角互補的四邊形在同一個圓上），
∴∠CAE=∠3=∠2（在同圓中，等弦對等�。�，
BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2=45°，∠5=90°-∠1=45°，
∴∠3=∠4=45°，
又∠AEC=∠ADC=90°，
∴A、C、D、E四點共圓（線段同側張等角，則四點共圓），
∴∠7=∠4=45°，
而∠6=∠5=45°，
∴∠7=∠6，
∴EF=ED；

（2）FD=AD-AF=5-3=2，
    EF=ED=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$
∴S_△EFD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1
S_梯形BCDF=CD×（FD+BC）÷2
=3×（2+5）÷2
=10.5，
∴S_{四邊形BCDE}=1+10.5=11.5．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是在復雜的圖形中發(fā)現(xiàn)四點共圓并利用同圓或等圓中相等的弧所對的圓周角相等，難度不大．