Question

6．如圖，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，AB=4，點B的坐標為（-1，0），點C在y軸的正半軸，線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A，B，C
（Ⅰ）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）設(shè)對稱軸與拋物線交于點E，與AC交于點D，在對稱釉上，是否存在點P，使以點P，C，D點的三角形與△ADE相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由
（Ⅲ）若在對稱軸上有兩個動點P和Q（點P在點Q的上方），且PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，請求出使四邊形BCFE最小的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）先求出OB=3，B（3，0），再證明Rt△OCB∽Rt△OAC，則可利用相似比計算出OC=$\sqrt{3}$，得到C（0，$\sqrt{3}$），然后利用待定系數(shù)法，運用交點式求出拋物線解析式；
（2）把（1）中解析式配成頂點式得到y(tǒng)=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，則E（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），拋物線對稱軸為直線x=1，直線x=1交x軸于H點，如圖1，易得∠OAC=30°，所以AC=2OC=2$\sqrt{3}$，再在Rt△AHD中計算出DH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AD=2DH=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，所以DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CD=AC-AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由于∠CDP=∠EDA，根據(jù)相似三角形的判定方法，當$\frac{DP}{DE}$=$\frac{DC}{DA}$，△DPC∽△DEA；當DP：DA=DC：DE，△DPC∽△DAE，然后分別求出DP即可得到對應(yīng)的P點坐標；
（3）在y軸上截取CG=PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，如圖2，連結(jié)AG交直線x=1于點Q，利用對稱性得QB=QA，易得四邊形PQGC為平行四邊形，則GQ=PC，所以PC+BQ=QG+AQ=AG，根據(jù)兩點之間線段最短得此時PC+BQ最小，加上BC和PQ為定值，于是可判斷此時四邊形BCPQ的周長最小，接著利用待定系數(shù)法確定直線AG的解析式為y=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，然后求出Q點坐標，從而可得到P點坐標．

解答 解：（1）∵AB=4，點B的坐標為（-1，0），
∴OB=3，B（3，0），
∵∠BCO+∠CBO=90°，∠CBA+∠CAO=90°，
∴∠BCO=∠CAO，
∴Rt△OCB∽Rt△OAC，
∴OC：OA=OB：OC，即OC：3=1：OC，
∴OC=$\sqrt{3}$，
∴C（0，$\sqrt{3}$），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把C（0，$\sqrt{3}$）代入得-3a=$\sqrt{3}$，解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3），即y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）存在．
y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，則E（1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
拋物線對稱軸為直線x=1，直線x=1交x軸于H點，如圖1，
在Rt△AOC中，∵OC=$\sqrt{3}$，OA=3，
∴tan∠OAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAC=30°，
∴AC=2OC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AHD中，AH=2，
∴DH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AD=2DH=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴DE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CD=AC-AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵∠CDP=∠EDA，
∴當$\frac{DP}{DE}$=$\frac{DC}{DA}$，△DPC∽△DEA，即DP：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解得DP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，此時P點坐標為（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
當DP：DA=DC：DE，△DPC∽△DAE，即DP：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得DP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，此時P點坐標為（1，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（1，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
（3）在y軸上截取CG=PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，如圖2，
連結(jié)AG交直線x=1于點Q，則QB=QA，
∵PQ∥CG，PQ=CG，
∴四邊形PQGC為平行四邊形，
∴GQ=PC，
∴PC+BQ=QG+AQ=AG，此時PC+BQ最小，
而BC和PQ為定值，
∴此時四邊形BCPQ的周長最小，
設(shè)直線AG的解析式為y=mx+n，
把A（3，0），G（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2\sqrt{3}}{9}}\\{n=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AG的解析式為y=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
當x=1時，y=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，
∴Q點坐標為（1，$\frac{4\sqrt{3}}{9}$），
∴P點坐標為（1，$\frac{7\sqrt{3}}{9}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，會利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；靈活相似三角形的判定與性質(zhì)；利用兩點之間線段最短解決最短路徑問題；能應(yīng)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．