Question

6．如圖所示，在△ABC中，D是BC延長線上一點，CD=BC，E是CA延長線上一點，AE=2AC，若AD=BE，求證：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 由于告訴了AE=2AC，故延長AC至F，使CF=AC，連接BF，則△ADC≌△FBC，從而AD=BF，又AD=BE，從而BF=BE，即三角形BEF是等腰三角形，再根據(jù)AE=2AC，可得A是EF中點，由三線合一可得BA垂直EF．

解答 證明：如圖，延長AC至F，使CF=AC，連接BF，

∵BC=CD，
在△ADC和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=FC}\\{∠ACD=∠FCB}\\{DC=BC}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△FBC（SAS），
∴BF=AD，
∵AD=BE，
∴BF=BE，
∵AE=2AC，
∴AE=AF，
∴BA⊥EF，
∴△ABC是直角三角形．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形“三線合一”的性質，難度中等．由題目條件“AE=2AC”聯(lián)想到中線倍長是解答本題的關鍵．