Question

設(shè)△ABC的三邊分別為a、b、c，其中a、b分別是方程x²-（c+2）x+2（c+1）=0的兩實(shí)數(shù)根．
（1）試判斷△ABC的形狀？
（2）若△ABC為等腰三角形．求a、b、c的值？

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=c+2，ab=2（c+1）=2c+2，把第一個(gè)等式兩邊平方，整理可得到a²+b²=c²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是以c為斜邊的直角三角形；
（2）由于△ABC是等腰直角三角形，則a=b，且c=

2

a，利用a+b=c+2可計(jì)算出a，于是可得到b、c的值．

解答：解：（1）△ABC是直角三角形．理由如下：
根據(jù)題意得a+b=c+2，ab=2（c+1）=2c+2，
∴（a+b）²=（c+2）²，即a²+2ab+b²=c²+4c+4，
∴a²+4c+4+b²=c²+4c+4，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是以c為斜邊的直角三角形；

（2）∵△ABC是等腰三角形，
∴a=b，且c=

2

a，
∴a+a=

2

a+2，
∴a=2+

2

，
∴b=2+

2

，
c=2+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理的逆定理和等腰直角三角形性質(zhì)．