Question

13．已知二次函數(shù)y=x²+bx+c（b、c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）與點(diǎn)C（0，-3），其頂點(diǎn)為P．
（Ⅰ）求二次函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）若Q為對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且QC平分∠PQO，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅲ）當(dāng)m≤x≤m+1時(shí)，y的取值范圍是-4≤y≤2m，求m的值．

Answer 1

分析 （I）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)得出答案；
（Ⅱ）利用∠OQC=∠QCO，得出OC=OQ，進(jìn)而表示出兩線段的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
（Ⅲ）結(jié)合對(duì)稱軸得出m的取值范圍，根據(jù)-4≤y≤2m，由①-2≤m＜-$\frac{3}{2}$，②當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤m≤-1時(shí)分別結(jié)合y的最值，求出m的值．

解答 解：（I）∵點(diǎn)A、C在二次函數(shù)的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²+2x-3，

（Ⅱ）如圖，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=-1，
∵PQ∥OC，
∴∠PQC=∠QCO，
∵∠OQC=∠QCO，
∴OC=OQ，
設(shè)Q（-1，t），
∴$\sqrt{1+{t}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}}$，
解得：t=$±2\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，2$\sqrt{2}$）或（-1，-2$\sqrt{2}$）；

（Ⅲ）當(dāng)m≤x≤m+1時(shí)，y的最小值為-4，
∴m≤-1≤m+1，
即-2≤m≤-1；
①-2≤m＜-$\frac{3}{2}$，y_max=m²+2m-3．
由m²+2m-3=2m，
解得m=$\sqrt{3}$（舍去）或m=-$\sqrt{3}$．
②當(dāng)-$\frac{3}{2}$≤m≤-1時(shí)，y_max=（m+1）²+2（m+1）-3，
由（m+1）²+2（m+1）-3=2m，
解得m=0（舍去）或m=-2（舍去），
綜上所述：m的值為-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及平行線的性質(zhì)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，正確分類討論得出m的取值范圍是解題關(guān)鍵．