Question

【題目】如圖，∠MON=α（0＜α＜90°），A為OM上一點(diǎn)（不與O重合），點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，AB與ON交于點(diǎn)C，P為直線(xiàn)ON上一點(diǎn)（不與O，C重合）將射線(xiàn)PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角，其中2α+β=180°，所得到的射線(xiàn)與直線(xiàn)OM交于點(diǎn)Q．這個(gè)問(wèn)題中，點(diǎn)的位置和角的大小都不確定，在這里我們僅研究?jī)煞N特殊情況，一般的情況留給同學(xué)們深入探索．

（1）如圖1，當(dāng)α=45°時(shí)，此時(shí)β=90°，若點(diǎn)P在線(xiàn)段OC的延長(zhǎng)線(xiàn)上．

①依題意補(bǔ)全圖形；

②求∠PQA﹣∠PBA的值；

（2）如圖2，當(dāng)α=60°，點(diǎn)P在線(xiàn)段CO的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，用等式表示線(xiàn)段OC，OP，AQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②45°；（2）AQ＝4OC+OP，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①依據(jù)題意可得圖形；

②通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可求AB⊥OP，BP⊥PQ，可得∠PBA=∠OPQ，即可求∠PQA﹣∠PBA的值；

（2）在OQ上截取OD=OP，連接BO，PD，BQ，由題意可得∠BON=∠MON=∠POQ=60°，∠BPQ=β=180°﹣2α=60°，可證點(diǎn)B，點(diǎn)Q，點(diǎn)P，點(diǎn)O四點(diǎn)共圓，可得∠PBQ=∠POQ=60°，∠PBO=∠OQP，由“AAS”可證△BOP≌△QDP，可得DQ=OB=OA=2OC，即可求線(xiàn)段OC，OP，AQ之間的數(shù)量關(guān)系．

（1）①

②∵點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于ON對(duì)稱(chēng)，∴AB⊥ON，∴∠PBA+∠BPC=90°．

∵∠BPQ=90°，∴∠BPC+∠OPQ=90°，∴∠OPQ=∠PBA．

∵∠PQA=∠O+∠OPQ，∴∠PQA=∠O+∠PBA，∴∠PQA﹣∠PBA=∠O=45°．

（2）AQ=4OC+OP．理由如下：

在OQ上截取OD=OP，連接BO，PD，BQ．

∵∠MON=α=60°，且點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，∴∠BON=∠MON=∠POQ=60°，AO=BO，CO⊥AB，∴∠BOQ=60°，∠CAO=30°，∴AO=2CO．

∵旋轉(zhuǎn)，∴∠BPQ=β=180°﹣2α=60°，∴∠BOQ=∠BPQ=60°，∴點(diǎn)B，點(diǎn)Q，點(diǎn)P，點(diǎn)O四點(diǎn)共圓，∴∠PBQ=∠POQ=60°，∠PBO=∠OQP，∴△PBQ是等邊三角形，∴PB=PQ．

∵OD=OP，∠QOP=60°，∴△ODP是等邊三角形，∴∠ODP=∠DOP=60°，∴∠BOP=∠PDQ=120°，且BP=PQ，∠OBP=∠OQP，∴△BOP≌△QDP（AAS），∴DQ=OB，∴DQ=OA=2OC，∴AQ=AO+OQ=2CO+OD+PQ=4OC+OP．