Question

如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3），設(shè)拋物線的頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標；
（2）P是線段BC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于點E，求線段PE長度的最大值是多少？
（3）探究坐標軸上是否存在點F，使得以F、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（-1，0）、B（3，0），C（0，-3），代入y=ax²+bx+c，求出二次函數(shù)解析式即可，然后利用配方法直接求出頂點坐標即可；
（2）首先求出BC的解析式，然后設(shè)出P點橫坐標為m，表示出PE的長度，求出最大值；
（3）根據(jù)相似三角形的判定方法分別得出即可．

解答：解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
由拋物線與y軸交于點C（0，-3），可知c=-3．
即拋物線的解析式為y=ax²+bx-3把A（-1，0）、B（3，0）代入，
得

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得

a=1 b=-2

，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
∵y=x²-2x-3=（x²-2x+1）-4，
=（x-1）²-4，
∴頂點D的坐標為（1，-4）；

（2）∵B（3，0），C（0，-3），
∴BC的解析式為：y=x-3，
設(shè)P點橫坐標為m，
則P點縱坐標為m-3，E點縱坐標為m²-2m-3，
PE=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=-（m-

3

2

）²+

9

4

，
當(dāng)m=

3

2

時，PE有最大值

9

4

；

（3）連接AC，
易得：CD=

2

，BC=3

2

，BD=2

5

，
則有CD²+CB²=BD²，
可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合條件的點為O（0，0）
過A作AF₁⊥AC交y軸正半軸于F₁，可知Rt△CAF₁∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合條件的點為F₁（0，

1

3

），
過C作CF₂⊥AC交x軸正半軸于F₂，可知Rt△F₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合條件的點為F₂（9，0）．
綜上所述：符合條件的點有三個：（0，0），F(xiàn)₁（0，

1

3

），F(xiàn)₂（9，0）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定等知識，相似三角形與二次函數(shù)經(jīng)常結(jié)合出綜合題目，所以同學(xué)們學(xué)要對這些知識熟練地掌握才能正確的解答．