Question

【題目】如圖，已知拋物線P：y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸的正半軸上），與y軸交于點(diǎn)C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點(diǎn)F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)如下：

x	…	﹣3	﹣2	1	2	…
y	…		﹣4		0	…

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0），矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系，并指出m的取值范圍；

（3）當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí)，連接DF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使FM=kDF，若點(diǎn)M不在拋物線P上，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)A（2，0），B（﹣4，0），C（0，﹣4）；(2)SDEFG=12m﹣6m2（0＜m＜2）；(3)k≠且k＞0．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)圖表可以得到，拋物線經(jīng)過(guò)的四點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，設(shè)y=ax2+bx+c,把其中三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，就可以求得函數(shù)解析式．進(jìn)而可以求出A、B、C的坐標(biāo)；（2）表示出矩形的長(zhǎng)和寬是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，先證△ADG∽△AOC，AD=2﹣m，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以用m表示出DG的長(zhǎng)，再根據(jù)△BEF∽△BOC，就可以表示出BE，進(jìn)而得到OE，于是ED就可以表示出來(lái)．因而S與m的函數(shù)關(guān)系就可以得到；（3）當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí)，就是函數(shù)的值是最大值時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出相應(yīng)的m的值．則矩形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)就可以求出，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線DF的解析式．可以求出直線DF與拋物線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)FM=kDF，就可以表示出M的坐標(biāo)，把M的坐標(biāo)代入函數(shù)就可以得到一個(gè)關(guān)于k的方程，求出k的值，判斷是否滿足函數(shù)的解析式即可．

試題解析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，設(shè)y=ax2+bx+c（a≠0），任取x，y的三組值代入，求出解析式為y=x2+x﹣4，令y=0，求出x1=﹣4，x2=2；令x=0，得y=﹣4，∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2，0），B（﹣4，0），C（0，﹣4）．（2）由題意，△ADG∽△AOC，所以，而AO=2，OC=4，AD=2﹣m，故DG=4﹣2m，又△BEF∽△BOC，所以，EF=DG，得BE=4﹣2m，∴DE=3m，∴SDEFG=DGDE=（4﹣2m）3m=12m﹣6m2（0＜m＜2），故S=12m﹣6m2（0＜m＜2）；（3）如下圖，連接DF并延長(zhǎng)，∵SDEFG=12m﹣6m2（0＜m＜2），∴m=1時(shí)，矩形的面積最大，且最大面積是6．當(dāng)矩形面積最大時(shí)，其頂點(diǎn)為D（1，0），G（1，﹣2），F(xiàn)（﹣2，﹣2），E（﹣2，0），設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b，易知，k=，b=﹣，∴y=x﹣，又可求得拋物線P的解析式為：y=x2+x﹣4，令x﹣=x2+x﹣4，可求出x=．設(shè)射線DF與拋物線P相交于點(diǎn)N，則N的橫坐標(biāo)為，過(guò)N作x軸的垂線交x軸于H，有==，點(diǎn)M不在拋物線P上，即點(diǎn)M不與N重合時(shí)，此時(shí)k的取值范圍是k≠且k＞0．