Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，點(diǎn)M在BC上，且BM=1，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則BN+MN的最小值為5．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′連接MB′，過(guò)點(diǎn)B′作B′E⊥BC，垂足為E．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知DB=$\frac{1}{2}AC$=2$\sqrt{2}$，從而得到BB′=4$\sqrt{2}$，由∠B′BC=45°可求得B′E=BE=4，故此可知ME=3，由勾股定理可知MB′=5．

解答 解：過(guò)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′連接MB′，過(guò)點(diǎn)B′作B′E⊥BC，垂足為E．

∵點(diǎn)B與B′關(guān)于AC對(duì)稱，
∴BB′⊥AC，BD=DB′．
∵∠ABC=90°，AB=BC=4，
∴AC=$\sqrt{2}AB$=4$\sqrt{2}$．
∴BD=$\frac{1}{2}AC$=2$\sqrt{2}$．
∴BB′=4$\sqrt{2}$．
∵EB=B′E=4$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=4，
∴ME=4-1=3．
在Rt△MB′E中，由勾股定理得：B′M=$\sqrt{M{E}^{2}+B′{E}^{2}}$=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是軸對(duì)稱-路徑最短、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，明確當(dāng)B′、N、M在同一條直線上時(shí)，BN+MN有最小值是解題的關(guān)鍵．