Question

如圖，過點(diǎn)C（0，-2）的拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，-3），過點(diǎn)C作CB∥x軸交拋物線于點(diǎn)B，點(diǎn)P在線段BC上，CP=m．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)，并用含m的代數(shù)式表示PB的長；
（2）點(diǎn)A，Q分別為x軸和拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若恰好存在以CP為邊，點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，求出所有符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)；
（3）是否存在m值，使△MBP為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的m值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由C與B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，C（0，-2），可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2），那么BC=4，再根據(jù)PB=BC-CP可用含m的代數(shù)式表示PB的長；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)CP為一邊時(shí)，CP∥AQ，則點(diǎn)Q為拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)CP為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線的距離相等求解；
（3）先由M、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出MB²=5，MP²=（m-2）²+1，BP=4-m．再分三種情況進(jìn)行討論：①由MP=MB列出方程（m-2）²+1=5，解方程求出m的值；②由MP=BP列出方程（m-2）²+1=（4-m）²，解方程求出m的值；③由BP=MB列出方程（4-m）²=5，解方程求出m的值．

解答：解：（1）∵C與B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，C（0，-2），
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-2），
∵CP=m，
∴PB=BC-CP=4-m；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，-3），
∴y=a（x-2）²-3，
將C（0，-2）代入，得a（0-2）²-3=-2，
解得a=

1

4

，
∴y=

1

4

（x-2）²-3，即y=

1

4

x²-x-2．
∴當(dāng)y=0時(shí)，

1

4

（x-2）²-3=0，解得x=2±2

3

，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2-2

3

，0）或（2+2

3

，0）．
點(diǎn)P在線段BC上，CB∥x軸，CP有兩種可能：
①當(dāng)CP為一邊時(shí)，CP∥AQ，則點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2-2

3

，0）或（2+2

3

，0）；
②當(dāng)CP為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相等，
可知A點(diǎn)、Q點(diǎn)到直線BC的距離相等，
∵C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，即點(diǎn)A到直線BC的距離為2，
∴點(diǎn)Q到直線BC的距離也為2，即Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為-4，
∵拋物線的頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，-3），
∴這樣的Q點(diǎn)不存在．
綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)坐標(biāo)為（2-2

3

，0）或（2+2

3

，0）；

（3）∵M(jìn)（2，-3），B（4，-2），P（m，-2），
∴MB²=（4-2）²+（-2+3）²=5，MP²=（m-2）²+（-2+3）²=（m-2）²+1，BP=4-m．
當(dāng)△MBP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：
①如果MP=MB，那么（m-2）²+1=5，解得m₁=0，m₂=4（不合題意舍去），
所以m=0；
②如果MP=BP，那么（m-2）²+1=（4-m）²，解得m=

11

4

，
所以m=

11

4

；
③如果BP=MB，那么（4-m）²=5，解得m₁=4-

5

，m₂=4+

5

（不合題意舍去），
所以m=4-

5

；
綜上所述，所有符合條件的m值為0或

11

4

或4-

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，拋物線的性質(zhì)，平行四邊形、等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．