Question

將拋物線y=x²向下平移后，設(shè)它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，且拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）若△ABC為等邊三角形，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若△ABC為等腰直角三角形，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若將拋物線改為y=ax²，以上兩個(gè)問(wèn)題怎么解答；
（4）若拋物線改為y=a（x-m）²呢？
（5）由此，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）（2）設(shè)拋物線與x軸的左邊交點(diǎn)為A，右邊交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-p），然后表示出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)等邊三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算求出p，即可得解；
（3）（4）思路同上求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)等邊三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)求解；
（5）根據(jù)計(jì)算結(jié)果解答．

解答：解：設(shè)拋物線與x軸的左邊交點(diǎn)為A，右邊交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-p），
則平移后拋物線解析式為y+p=x²，
當(dāng)y=0時(shí)，x=±

p

，
所以，點(diǎn)A（-

p

，0），B（

p

，0），
（1）△ABC為等邊三角形，則∠OCA=30°，
所以，OC=

3

OA，
p=

3

•

p

，
解得p=3．
所以，函數(shù)解析式為y=x²-3；

（2）△ABC為等腰直角三角形，則∠OCA=45°，
所以，OC=OA，
p=

p

，
解得p=1，
所以，函數(shù)解析式為y=x²-1；

（3）將拋物線改為y=ax²，則平移后拋物線解析式為y+p=ax²，
當(dāng)y=0時(shí)，x=±

p a

，
所以，點(diǎn)A（-

p a

，0），B（

p a

，0），
若△ABC為等邊三角形，則∠OCA=30°，
所以，OC=

3

OA，
p=

3

•

p a

，
解得p=

3

a

，
所以，函數(shù)解析式為y=ax²-

3

a

；
若△ABC為等腰直角三角形，則∠OCA=45°，
所以，OC=OA，
p=

p a

，
解得p=

1

a

，
所以，函數(shù)解析式為y=ax²-

1

a

；

（4）將拋物線改為y=a（x-m）²，則平移后拋物線解析式為y+p=a（x-m）²，
當(dāng)y=0時(shí)，x=m±

p a

，
所以，點(diǎn)A（m-

p a

，0），B（m+

p a

，0），
若△ABC為等邊三角形，則∠OCA=30°，
所以，OC=

3

OA，
p=

3

•

p a

，
解得p=

3

a

，
所以，函數(shù)解析式為y=a（x-m）²-

3

a

；
若△ABC為等腰直角三角形，則∠OCA=45°，
所以，OC=OA，
p=

p a

，
解得p=

1

a

，
所以，函數(shù)解析式為y=a（x-m）²-

1

a

；

（5）由計(jì)算可知，若△ABC為等邊三角形，則平移的距離為

3

a

，
若△ABC為等腰直角三角形，則平移距離為

1

a

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，熟練利用平移規(guī)律得出是解題關(guān)鍵．