Question

倡導研究性學習方式，著力教材研究，習題研究，是學生跳出題海，提高學習能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．下面是一案例，請同學們認真閱讀、研究，完成“類比猜想”及后面的問題．
習題解答：
習題 如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，說明理由．
解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE′，點F、D、E′在一條直線上．
∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，
又∵AE′=AE，AF=AF
∴△AE′F≌△AEF（SAS）
∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．
習題研究
觀察分析：觀察圖（1），由解答可知，該題有用的條件是①ABCD是四邊形，點E、F分別在邊BC、CD上；②AB=AD；③∠B=∠D=90°；④∠EAF=

1

2

∠BAD．
類比猜想：（1）在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當AB=AD，∠B=∠D時，還有EF=BE+DF嗎？
   研究一個問題，常從特例入手，請同學們研究：如圖（2），在菱形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當∠BAD=120°，∠EAF=60°時，還有EF=BE+DF嗎？
（2）在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=

1

2

∠BAD時，EF=BE+DF嗎？
歸納概括：反思前面的解答，思考每個條件的作用，可以得到一個結(jié)論“EF=BE+DF”的一般命題：

 

．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120°，則點F、D、E′不共線，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；
（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADE′，如圖（3），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE′=AE，∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，由于∠ADE′+∠ADC=180°，知F、D、E′共線，因此有EF=DE′+DF=BE+DF；根據(jù)前面的條件和結(jié)論可歸納出結(jié)論．

解答：解：（1）當∠BAD=120°，∠EAF=60°時，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．
理由如下：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴AB=AD，∠1+∠2=60°，∠B=∠ADC=60°，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，
∴∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，
∴∠2+∠3=60°，
∴∠EAF=∠E′AF，
在△AEF和△AE′F中

AE=AE′ ∠EAF=∠E′AF AF=AF

，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，
∵∠ADE′+∠ADC=120°，即點F、D、E′不共線，
∴DE′+DF＞EF
∴BE+DF＞EF；

（2）當AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=

1

2

∠BAD時，EF=BE+DF成立．
理由如下：如圖（3），
∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADE′，如圖（3），
∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，
∵∠B+∠D=180°，
∴∠ADE′+∠D=180°，
∴點F、D、E′共線，
∵∠EAF=

1

2

∠BAD，
∴∠1+∠2=

1

2

∠BAD，
∴∠2+∠3=

1

2

∠BAD，
∴∠EAF=∠E′AF，
在△AEF和△AE′F中

AE=AE′ ∠EAF=∠E′AF AF=AF

，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，
∴EF=DE′+DF=BE+DF；
歸納：在四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，當AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=

1

2

∠BAD時，EF=BE+DF．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會運用三角形全等的判定與性質(zhì)解決線段相等的問題．