Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，弦CD交AB于E，連接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，過E作弦GF⊥BC交圓與G、F兩點(diǎn)，連接CF、BG．則下列結(jié)論：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切線；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于

1

2

BG．則其中正確的是（　　）

• A、①②④
• B、③④
• C、①②③
• D、①②③④

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理,垂徑定理,圓周角定理

專題：證明題

分析：連接BD、OC、AG，過O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC=∠ABD，求出弧AC=弧AD，根據(jù)垂徑定理求出即可；求出∠P+∠PCD=90°和∠P=∠DCO即可求出PC是圓的切線；采用反證法求出∠B=30°，但已知沒有給出此條件，即可判斷③；求出CF=AG，推出CQ=OZ，證△OCQ≌△BOZ，推出OQ=BZ，即可判斷④．

解答：解：連接BD、OC、AG，過O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，
∵∠AOD=2∠ABC，
∴∠ABC=∠ABD，
∴弧AC=弧AD，
∵AB是直徑，
∴CD⊥AB，
∴①正確；
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠PCD=90°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=∠P，
∴∠PCD+∠OCD=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是切線，∴②正確；
假設(shè)OD∥GF，則∠AOD=∠FEB=2∠ABC，
∴3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
已知沒有給出∠B=30°，∴③錯誤；
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴弧CF=弧AG，
∴AG=CF，
∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，
∴CQ=

1

2

AG，OZ=

1

2

AG，BZ=

1

2

BG，
∴OZ=CQ，
∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，
∴△OCQ≌△BOZ，
∴OQ=BZ=

1

2

BG，
∴④正確．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、圓周角定理、垂徑定理等知識點(diǎn)的運(yùn)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較好，但有一定的難度．