【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD//BC, ,BC=4,DC=3,AD=6.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿射線DA的方向,在射線DA上以每秒2兩個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D,C同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).
(1)設(shè)的面積為,直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式是____________(不寫取值范圍).
(2)當(dāng)B,P,Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),求出此時(shí)的值.
(3)當(dāng)線段PQ與線段AB相交于點(diǎn)O,且2OA=OB時(shí),直接寫出=_____________.
(4)是否存在時(shí)刻,使得若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2), ;(3);(4)
【解析】試題分析:
(1)由題意可得BQ=BC-CQ=4-t,點(diǎn)P到BC的距離=CD=3,由此結(jié)合三角形的面積公式即可得到S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H,結(jié)合勾股定理和已知條件把BP2、BQ2、PQ2用含“t”的代數(shù)式表達(dá)出來(lái),然后分BP=BQ、BP=PQ、BQ=PQ三種情況列出方程,解方程得到對(duì)應(yīng)的t的值,再結(jié)合題中的條件檢驗(yàn)即可得到符合要求的t的值;
(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,易證得四邊形PMCD是矩形,由此可得PM=CD=3,CM=PD=2t,結(jié)合AD=6,BC=4,可得PA=2t-6,BQ=4-t,MQ=CM-CQ=t,由AD∥BC可得△OAP∽△OBQ,結(jié)合2OA=OB即可求得t的值,從而可由tan∠BQP=求得其值;
(4)如圖3,過(guò)點(diǎn)D作DM∥PQ交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,則當(dāng)∠BDM=90°時(shí),PQ⊥BD,即當(dāng)BM2=DM2+BD2時(shí),PQ⊥BD,由此結(jié)合已知條件把DM2、BM2和BD2用含“t”的式子表達(dá)出來(lái),列出方程就可得解得t的值.
試題解析:
(1)由題意可得BQ=BC-CQ=4-t,點(diǎn)P到BC的距離=CD=3,
∴S△PBQ=BQ×3=;
(2)如下圖,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H,
∴∠PHB=∠PHQ=90°,
∵∠C=90°,AD∥BC,
∴∠CDP=90°,
∴四邊形PHCD是矩形,
∴PH=CD=3,HC=PD=2t,
∵CQ=t,BC=4,
∴HQ=CH-CQ=t,BH=BC-CH=4-2t,BQ=4-t,
∴BQ2=,BP2= ,PQ2=,
由BQ2=BP2可得: ,解得:無(wú)解;
由BQ2=PQ2可得: ,解得: ;
由BP2= PQ2可得: ,解得: 或,
∵當(dāng)時(shí),BQ=4-4=0,不符合題意,
∴綜上所述, 或;
(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,
∴∠PMC=∠C=90°,
∵AD∥BC,
∴∠D=90°,△OAP∽△OBQ,
∴四邊形PMCD是矩形, ,
∴PM=CD=3,CM=PD=2t,
∵AD=6,BC=4,CQ=t,
∴PA=2t-6,BQ=4-t,MQ=CM-CQ=2t-t=t,
∴,解得: ,
∴MQ= ,
又∵PM=3,∠PMQ=90°,
∴tan∠BPQ=;
(4)如圖3,過(guò)點(diǎn)D作DM∥PQ交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,則當(dāng)∠BDM=90°時(shí),PQ⊥BD,即當(dāng)BM2=DM2+BD2時(shí),PQ⊥BD,
∵AD∥BC,DM∥PQ,
∴四邊形PQMD是平行四邊形,
∴QM=PD=2t,
∵QC=t,
∴CM=QM-QC=t,
∵∠BCD=∠MCD=90°,
∴BD2=BC2+DC2=25,DM2=DC2+CM2=9+t2,
∵BM2=(BC+CM)2=(4+t)2,
∴由BM2=BD2+DM2可得: ,解得: ,
∴當(dāng)時(shí),∠BDM=90°,
即當(dāng)時(shí),PQ⊥BD.
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(1)此次共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中D所在扇形的圓心角為 ;
(3)將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(4)若該校共有800名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)對(duì)食品安全知識(shí)“非常了解”的學(xué)生的人數(shù).
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【題目】在矩形ABCD中,AD=3,CD=4,點(diǎn)E在邊CD上,且DE=1.
(1)感知:如圖①,連接AE,過(guò)點(diǎn)E作,交BC于點(diǎn)F,連接AF,易證: (不需要證明);
(2)探究:如圖②,點(diǎn)P在矩形ABCD的邊AD上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、D重合),連接PE,過(guò)點(diǎn)E ,交BC于點(diǎn)F,連接PF.求證: 相似;
(3)應(yīng)用:如圖③,若EF交AB邊于點(diǎn)F, ,其他條件不變,且的面積是6,則AP的長(zhǎng)為____.
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【題目】將矩形ABCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形A1BC1D1,點(diǎn)A、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、C1、D1,當(dāng)點(diǎn)A1落在AC上時(shí).
(1)如圖,若∠CAB=60°,求證:四邊形ABD1C為平行四邊形;
(2)如圖,AD1交CB于點(diǎn)O.若∠CAB≠60°,求證:DO=AO.
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(2)若-1表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合,回答以下問(wèn)題:
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,CE垂直對(duì)角線AC于點(diǎn)C,AB的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)E.
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