【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)C和點(diǎn)重合),連接PB,過點(diǎn)P作交射線DA于點(diǎn)F,連接BF. 已知AD=3,CD=3,設(shè)CP的長為x,
(1)線段的最小值 ,當(dāng)x=1時, ;
(2)如圖,當(dāng)動點(diǎn)運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時,與的交點(diǎn)為G,的中點(diǎn)為,求線段GH的長度;
(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動的過程中,
①試探究是否會發(fā)生變化?若不改變,請求出大。蝗舾淖,請說明理由;
②當(dāng)為何值時,是等腰三角形?
【答案】(1),30°;(2);(3)①30°;②x=3或3
【解析】
(1)當(dāng)BP最小時,即BP⊥AC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可求出BP值,當(dāng)x=1時,可得出△BPN∽△PMF,由此可得出tan∠FBP的值,則可得到∠FBP的值;
(2)可證BP垂直平分AP,求得FP=,證GH是Rt△FGP中線,則GH=FP;
(3)①過P作PN⊥BC交AD于M,可證△FMP∽△PNB,設(shè)PC=x,PN=,可求得NC,MP,BN長度,tan∠FBP===,即可求得∠FBP的大;
②分三種情況討論求解即可.
(1)當(dāng)BP最小時,A與F重合,即BP⊥AC,
∵AD=3,CD=3,
∴AC=6,∠BAC=30°,
在Rt△ABC和Rt△APB中,∠BAC=∠PAB,
∴△ABC∽△APB,
∴=,
∴=,
∴BP=;
作PM⊥BC于N,交AD于M,
當(dāng)x=1時,PN=,MP=,CN=,BN=,
∵∠BNP=∠PMF=∠BPM=90°,
∴∠FPM+∠PFM=90°,∠FPM+∠BPN=90°,
∴∠PFM=∠BPN,
∴△BPN∽△PMF,
∴===tan∠FBP=,
∴當(dāng)x=1時,∠FBP=30°;
(2)∵P為AC中點(diǎn),
∴AP=PC=AB=3,
∴∠ABP=∠APB=∠BAP=60°,
在Rt△ABF和Rt△PBF中,AB=BP,BF=BF,
∴Rt△ABF≌Rt△PBF,
∴AG=PG,∠AGB=∠PGB=90°,
∴BF垂直平分AP,
在Rt△BFP中,∠PBF=30°,BP=3,
∴PF=tan30°×3=,
∵H為PF中點(diǎn),
∴GH為Rt△PGF的中線,
∴GH=PF=;
(3)①∠FBP=30°,
過P作PN⊥BC交AD于M,
∵∠PBN=∠FPM,∠BPN=∠PFM,
∴△FMP∽△PNB,
設(shè)CP=x,則PN=,NC=x,MP=3-x,BN=3-x,
∴tan∠FBP===,
∴∠FBP=30°;
②(i)若AF=FP,則∠FPA=∠FAP=30°,
∴AB=BP,且△ABP為等邊三角形,
∴BF為△ABP垂直平分線,
∴AB=BP=3,即x=3;
(ii)若AP=FP,則∠APF=120°>90°(舍去);
(iii)若AP=AF,則∠CBP=∠CPB=75°,BC=PC,此時x=3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線AB與x軸交于點(diǎn)A(﹣2,0),與y軸的正半軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)C,且AB=BC,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4.
(1)求直線AB的表達(dá)式;
(2)過點(diǎn)B作BD∥x軸,交反比例函數(shù)y=的圖象于點(diǎn)D,求線段CD的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示,直線x=1為對稱軸,以下結(jié)論①a<0,②b>0,③2a+b=0,④3a+c<0正確的有(填序號)_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在邊BC上,聯(lián)結(jié)AD,以AD為一邊作△ADE,滿足AD=AE,∠DAE=∠BAC,聯(lián)結(jié)EC.
(1)求證:CA平分∠DCE;
(2)如果AB2=BDBC,求證:四邊形ABDE是平行四邊形.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D為AB延長線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC邊上,且BE=BD,連結(jié)AE、DE、DC
①求證:△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中,李燕和劉凱兩位同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲(每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形,并在每個扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字).游戲規(guī)則如下:兩人分別同時轉(zhuǎn)動甲、乙轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止后,若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和小于12,則李燕獲勝;若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和等于12,則為平局;若指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)和大于12,則劉凱獲勝(若指針停在等分線上,重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向某一份內(nèi)為止).
(1)請用列表的方法表示出上述游戲中兩數(shù)和的所有可能的結(jié)果;
(2)分別求出李燕和劉凱獲勝的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生后,全社會積極參與疫情防控工作,某市為了盡快完成100萬只口罩的生產(chǎn)任務(wù),安排甲、乙兩個大型工廠完成.已知甲廠每天能生產(chǎn)口罩的數(shù)量是乙廠每天能生產(chǎn)口罩的數(shù)量的1.5倍,并且在獨(dú)立完成60萬只口罩的生產(chǎn)任務(wù)時,甲廠比乙廠少用5天.問至少應(yīng)安排兩個工廠工作多少天才能完成任務(wù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中A為直線y=x﹣1上一點(diǎn),過原點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)y=﹣圖象交于點(diǎn)B,C.若△ABC為等邊三角形,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____.
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【題目】四邊形ABCD中,對角線AC、BD相互垂直,AC=4,BD=6,順次聯(lián)結(jié)這個四邊形中點(diǎn)所得的四邊形的面積等于________
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