Question

9．在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸y軸的正半軸上，OA=6，OB=8，D為OB的中點，點E，F(xiàn)為邊OA上的兩個動點．
（1）是否存在點M在OB邊上，點N在AC邊上，使得四邊形OMCN為菱形？若存在，求出此時M、N點的坐標；若不存在，請說明理由．
（2）當△CDE的周長最小時，求此時點E的坐標．
（3）若EF=3，當四邊形CDEF的周長最小時，畫出示意圖，并直接寫出點E、F的坐標．

Answer 1

分析 （1）設OM=y，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MC=OM=y，根據(jù)勾股定理列出方程求出x，得到答案；
（2）作D關于x軸的對稱點D′，連接D′C，連接CD′交x軸于E，利用待定系數(shù)法求出直線CD'的解析式即可；
（3）作點D關于x軸的對稱點D'，在CB邊上截取CG=3，連接D'G與x軸交于點E，在EA上截取EF=3，求出直線EG解析式，計算即可．

解答 解：（1）存在．
如圖1，設OM=y，
∴BM=8-y，
∵四邊形OMCN為菱形，
∴MC=OM=y，又BC=6，
由勾股定理得，y=$\frac{25}{4}$，
所以M點的坐標為：（0，$\frac{25}{4}$），N點的坐標為：（6，$\frac{7}{4}$）；
（2）如圖2，作D關于x軸的對稱點D′，連接D′C，連接CD′交x軸于E，
△CDE的周長為CD+DE+EC=CD+D′E+EC=CD′+CD，
∵D為BO的中點，
∴BD=OD=4，
∵D和D′關于x軸對稱，
∴D′（0，-4），
∴C（6，8），
設直線CD'的解析式為y=kx+b，
把C（6，8），D′（0，-4）分別代入解析式，
得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=8}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
則解析式為y=2x-4，
當y=0時，x=2，
故E點坐標為（2，0）；
（3）如圖3，作點D關于x軸的對稱點D'，在CB邊上截取CG=3，連接D'G與x軸交于點E，在EA上截取EF=3，
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF．
又DC、EF的長為定值，
∴此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最�。�
直線EG解析式為y=4x-4，
所以點E的坐標為（1，0），
因為EF=3，所以OF=4．
所以點F的坐標為（4，0）．

點評 本題考查的是矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、軸對稱變換的知識以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，靈活運用軸對稱變換得到相關的點是解題的關鍵．